Основные понятия функции двух переменных

Определение 4.4. Градиентом функции в точке называется вектор, проекции которого служат значения частных производных этой функции, т.е.
. (4.3)

Подчеркнем, что проекции градиента зависят от выбора точки и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией , соответствует определенный вектор – градиент этой функции. Отметим, что градиент линейной функции есть постоянный вектор .

Учитывая то, что скалярное произведение равно модулю одного вектора умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что: производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е.
,
где   угол между и направлением .

Установим некоторые свойства градиента.

Отсюда следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда , т.е. при .
1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно .
Таким образом, направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. В противоположном направлении функция будет быстрее всего убывать.  наибольшая скорость изменения функции в точке .

2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

3) Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящего через эту точку.

Пример 4.2. Дана функция . Найти:
1) производную в точке по направлению вектора ;
2) производную в точке по направлению к точке ;
3) градиент функции в точке ;
4) наибольшую скорость возрастания функции в точке .