Основные понятия функции двух переменных

Определение 3.3. Прямая, проведенная через точку поверхности перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.


Если уравнение поверхности задано в неявном виде , то каноническое уравнение нормали в точке имеет вид:
. (3.3)


Если поверхность задана уравнением , то каноническое уравнение нормали в точке имеет вид:
. (3.4)


Пример 3.1. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке
Решение. Вычисляем значения частных производных в точке :
,
,
.
Подставляя их в уравнения (3.1) и (3.3), получаем соответственно уравнение касательной плоскости
,

и каноническое уравнение нормали
.



3.2. Экстремум функции двух переменных

Понятие максимум, минимум, экстремум функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной. Пусть функция определена в некоторой области , точка .

Определение 3.4. Точка называется точкой максимума , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство
.


Определение 3.5. Точка называется точкой минимума , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство
.

Значение функции в точке максимум (минимум) называется максимум (минимум) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер; значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к . В области функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
Рассмотрим условия существования экстремума функции.