Основные понятия функции двух переменных

Пример 2.3. Найти частные производные второго порядка для функции:
.
Решение. Находим частные производные первого порядка:
.

Находим частные производные второго порядка:

, , , .

Пример 2.4. Найти , если .
Решение. Находим последовательно частные производные:
, , , .

Из примера 2.3. видно, что . И это не случайно. Имеет место теорема, которую примем без доказательства.


Теорема 2.1 (теорема Шварца). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
В частности, для имеем .


2.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Составим полное приращение функции в точке :

.


Определение 2.3. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
, (2.3)
где и при .
Сумма первых двух слагаемых в равенстве (2.3) представляет собой главную часть приращения функции.


Определение 2.4. Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом :
. (2.4)

Выражения и называются частными дифференциалами. Для независимых переменных и полагают и . Поэтому равенство (2.4) можно представить в виде

. (2.5)

Надо отметить, если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и , причем , . Тогда формула для вычисления полного дифференциала примет вид:

. (2.6)

Для функции переменных полный дифференциал определяется выражением

. (2.7)