Основные понятия функции двух переменных

РАЗДЕЛ 9

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ФНП)

1. 
   ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
   

1. 
   Основные понятия
   

функции двух переменных

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.

Например, площадь прямоугольника есть функция двух независимо друг от друга изменяющихся переменных – длин сторон прямоугольника и , которая выражается формулой:
.
Работа постоянного электрического тока является функцией от разности потенциалов на концах участка, силы тока и времени , которая выражается формулой
.
Например, функция

есть функция от четырех переменных и .

Остановимся на случае двух переменных, которые будем обозначать и .

Каждой паре значений и соответствует точка на плоскости , координатами которой они служат. Рассмотрим некоторое множество точек на плоскости и обозначим его через , т.е. . Надо отметить, что переменные и не зависимы друг от друга.
Определение 1.1. Если каждой паре из некоторой области их изменения , поставлено в соответствие определенное значение величины , то говорят, что есть функция двух независимых переменных и . Записывается
.

При этом и называются независимыми переменными (аргументами), а  зависимой переменной (функцией).

Определение 1.2. Множество пар значений и , при которых определена функция , называется областью определения функции, обозначается .
Если каждую пару значений и можно изобразить точкой на плоскости , то область определения функции изобразиться в виде некоторой совокупности точек этой плоскости. В частности, область определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями.