Основные понятия функции двух переменных

Пример 4.1. Построить в плоскости линии уровня функции .


4.2. Производная по направлению

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении.

Пусть задано скалярное поле, т.е. задана функция , и точка . Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области .
Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала, рассмотрим точку . Тогда .

.
Учитывая, что , то полученное равенство будет иметь следующий вид:
.
Перейдем к пределу при .
Определение 4.3. Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т.е.
.

Итак, если функция дифференцируемая, то производная от функции в точке по направлению вектора находится по следующей формуле:

, (4.1)
где  направляющие косинусы вектора .

В случае функции двух переменных , т.е. когда поле плоское, формула (4.1) примет следующий вид:

, (4.2)
где .

Подобно тому, как частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении осей координат, так и производная по направлению будет являться скоростью изменения функции в точке по направлению вектора .

4.3. Градиент

В каждой точке области , в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных в выбранной точке . Назовем этот вектор градиентом функции и обозначим его символами или (набла-оператор, записываемый в виде «вектора» с компонентами ).