Основные понятия функции двух переменных

4.1. Скалярное поле

Предположим, что в каждой точке некоторой области задано значение скалярной физической величины , т.е. такой величины, которая полностью характеризуется своим числовым значением. Например, это может быть температура точек неравномерно нагретого тела, плотность распределения электрических зарядов в изолированном наэлектризованном теле, потенциал электрического поля и т.д. При этом называется скалярной функцией точки, записывается это так . Область , в которой определена функция , может совпадать со всем пространством, а может являться некоторой его частью.

Определение 4.1. Если в области задана скалярная функция точки , то говорят, что в этой области задано скалярное поле.

Будем считать, что скалярное поле стационарное, т.е. величина не зависит от времени .

Если физическая величина векторная, то ей будет соответствовать векторное поле, например, силовое поле, электрическое поле напряженности, магнитное поле и др.

Если скалярное поле отнесено к системе координат , то задание точки равносильно заданию ее координат , и тогда функция можно записать в обычном виде функции трех переменных: .

Рассмотрим точки области , в которых функция имеет постоянное значение , т.е. . Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другое значение , то получим другую поверхность. Эти поверхности называются поверхностями уровня.
Определение 4.2. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция принимает постоянное значение, т.е.
.

В курсе физики при рассмотрении поля потенциала поверхности уровня называют обычно эквипотенциальными поверхностями (т.е. поверхности равного потенциала).

Если скалярное поле плоское, т.е. изучается распределение значений величины в какой-то плоской области, то функция зависит от двух переменных, например, и . Линиями уровня этого поля будут линии уровня функции , т.е. .
В прикладных науках часто употребляются линии уровня для представления изучаемой функции двух независимых переменных. Так, например, рассматривая высоту точки местности над уровнем моря как функцию двух переменных – координат точки, на карты наносят линии уровня этой функции. Они называются в топологии горизонталями. С помощью сети горизонталей удобно следить за изменением высоты местности. В метеорологии пользуются сетями изотерм и изобар (линий одинаковых средних температур и линий равных средних давлений), являющимися линиями уровня температуры и давления как функции координат точки местности.