Основные понятия функции двух переменных

Теорема 3.3 (достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точку . Вычислим в точке значения . Обозначим
.
Тогда:

1. 
   если , то функция имеет экстремум в точке :
   
   • 
     максимум, если ;
     
   • 
     минимум, если ;
     
2. 
   если , то функция не имеет экстремума в точке ;
   
3. 
   если , то экстремум в точке может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.
   

Пример 3.2. Найти экстремум функции .
Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка:
.
Чтобы найти стационарные (критические) точки, составляем и решаем систему уравнений:
 или .
Таким образом, получаем две стационарные точки и .


2) Находим частные производные второго порядка:
.


3) Исследуем характер каждой стационарной точки.
а) В точке имеем
Тогда
.
Так как , то в точке функция имеет локальный максимум.
.

б) В точке имеем

.
Тогда . Проведем дополнительное исследование. Значение функции в точке равно нулю, т.е. . Можно заметить, что при ; при . Значит, в окрестности точки функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке функция экстремума не имеет.



3.3. Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего и наименьшего значений (так называемый глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области , или в точках, лежащих на границе области.