Основные понятия функции двух переменных

Определение 2.2. Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю. Обозначается: . Тогда
. (2.2)

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно или считаются постоянной величиной).

Геометрический смысл частных производных: частная производная численно равна тангенсу угла наклона  касательной к сечению поверхности плоскостью ;
частная производная численно равна тангенсу угла наклона  касательной к сечению поверхности плоскостью .


Пример 2.1. Для данной функции требуется найти частные производные и . Найти значения частных производных в точке :
.
Решение. Находим частные производные в общем виде:
, .
Находим значения частных производных в точке :
, .

Пример 2.2. Найти частные производные , , , для следующей функции:
.
Решение.
.



2.2. Частные производные высших порядков

Пусть имеем функцию двух переменных . Частные производные и , вообще говоря, являются функциями переменных и . Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных производных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций и можно дифференцировать как по , так и по . Вторые частные производные обозначают так:

: здесь дифференцируется последовательно два раза по ;
: здесь дифференцируется последовательно по , а потом
результат дифференцируется по ;
: здесь дифференцируется последовательно по , а потом
результат дифференцируется по ;
: здесь дифференцируется последовательно два раза по ;

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по . Получим частные производные третьего порядка. Например, , , и т.д. Аналогично определяются частные производные четвертого и выше порядка.

Вообще, частная производная n-го порядка есть первая производная от производной (n1)-го порядка. Например, есть производная n-го порядка – здесь функция сначала раз дифференцируется по , а потом раз по .
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например, , .
Для функций любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично.