Определим элементарные функции, как решения функционального уравнения

2.4 Определение степенной функции
Напомним свойства степени с одинаковым показателем.

	(45)
	(46)

Составим соответствующие функциональные уравнения

	(47)
	(48)

Докажем эквивалентность полученных уравнений.
Рассмотрим функциональное уравнение (47) при условиях:

1. 
   - непрерывная функция в интервале и отличная от постоянной.
   
2. 
   .
   

Теорема 4. Класс уравнений (47) при условиях 1), 2) имеет единственное решение.
Доказательство. Заменим независимые переменные и новыми переменными и по формулам , а и введем в рассмотрение функцию .
Тогда из уравнения (47) следует: , то есть функция удовлетворяет функциональному уравнению.
и условию ( )
Как было показано, единственным непрерывным решением этого уравнения при указанных условиях является показательная функция .
Следовательно, единственным непрерывным решением уравнения (47) будет функция .
Таким образом, , где .
Определение 8. Непрерывное в интервале решение класса функциональных уравнений (47) при условиях 1), 2) называется степенной функцией и обозначается .
Исследуем свойства решений класса функциональных уравнений.
а) . Действительно, полагая в уравнении , получим . Отсюда или , или . Но если , то при любом , . действительно, пусть . Тогда . Следовательно, и .
б) , так как , то .
г) Если , то . Докажем, что если ,то . Предположим противное. Пусть и . Но тогда для любого . Имеем: ,чтo невозможно, так как, по условию 1), функция отлична от постоянной.
д) Все значения функции положительны. Так как , то все значения положительны.
е) Если , то . Докажем, что если , то . Предположим противное. Пусть для некоторого . Но тогда . Из равенства имеем и, следовательно, .
Далее, из равенства получаем и, значит, . Наконец, . Но тогда для любого действительного найдется последовательность рациональных чисел, сходящаяся к в силу непрерывности , что невозможно, поэтому .

Таким образом, мы рассмотрели основные элементарные функции, сформулировали определение элементарных функций с помощью функциональных уравнений.