Определим элементарные функции, как решения функционального уравнения

1.3.2 Дифференцирование
В некоторых случаях для нахождения решения функционального уравнения целесообразно продифференцировать обе части уравнения, если, конечно, производная существует. В результате получим функциональное уравнение, которое содержит и производную неизвестной функции. Решим это уравнение относительно производной. Тогда неизвестная функция является одной из первообразных для найденной производной. Этот метод уже применялся при решении уравнения Коши в классе дифференцируемых функций.
Пример 19. Найти в классе функций, имеющих непрерывные производные, решение уравнения , . (20)
Решение. Попытки решить уравнение методом предельного перехода не приводят к желаемому результату. Левая и правая части являются функциями от . Они равны, следовательно, равны их производные по . Продифференцируем и после сокращения получим .
Это уравнение уже можно решить методом предельного перехода. Выполнив подстановку , получим цепочку равенств .
Ввиду непрерывности , при , имеем
Итак, , где . Первообразная функция . Подставив в (20) , получим . Кроме того, ,т.е. .
Легко проверить, что удовлетворяет условию при произвольном .
Пример 20. Найти все действительные дифференцируемые функции, удовлетворяющие функциональному уравнению (21) .
Решение. Пусть удовлетворяет данному уравнению. Тогда , т.е. , и, следовательно, .
После преобразований имеем , (22) откуда, с учётом следует, что (23) , где . Значит, , , .
Условие означает, что , т.е. . Очевидно, все функции вида подходят под условие задачи.
Пример 21. Найти функцию , удовлетворяющую уравнению , .