Определим элементарные функции, как решения функционального уравнения

Определение 1. Множество всех функциональных уравнений, имеющих одно и то же множество решений на множестве , будем называть классом функциональных уравнений на этом множестве.
Так как все уравнения из класса уравнений, определяющих линейную функцию эквивалентны, то класс уравнений можно обозначить любым уравнением, например, уравнением (26).
Определение 2. Решением класса функциональных уравнений на множестве будем называть функцию, являющуюся решением каждого уравнения класса на множестве .
Докажем, что линейную функцию можно определить как решение класса функциональных уравнений (26).Для того чтобы выделить линейную функцию, как единственное решение будем искать решение с заранее заданными свойствами:

1. 
   непрерывная функция в интервале ;
   
2. 
   , - произвольное действительное число.
   

Предварительно докажем, что любое решение функционального уравнения (26) таково, что:
а) . Полагая в уравнении (26) , получаем . Это равенство справедливо только в одном случае, когда ;
б) . Так как , то . В силу произвольности х функция нечетна.
Теорема 1. Решение класса функциональных уравнений (26) при условиях 1), 2) является линейной функцией.
Доказательство. Методом Коши докажем, что при любом действительном . Сначала докажем это равенство для . Полагая в уравнении (24) последовательно y равным , …, будем получать:
,
,
,
……………………….
Закономерности, которые видны в этих равенствах, позволяют выдвинуть гипотезу вида
(28)
Это вспомогательное равенство. Докажем его методом математической индукции. При равенство (28) очевидно. Предположим, что равенство (28) справедливо для некоторого натурального и докажем его справедливость для следующего натурального числа .
Так как , то утверждение доказано.
Полагая в равенстве (28) , получим или
, (29)
где . Следовательно, равенство справедливо для .
Пусть теперь - любое положительное рациональное число.
Тогда, полагая в равенстве (28) , получим или ; учитывая равенство (29), находим . Значит, равенство справедливо для .
В силу свойства б) , следовательно, . Значит, равенство справедливо и для , а поэтому справедливо и для всех . Пусть теперь -любое действительное число. Тогда найдется последовательность рациональных чисел такая, что при . Так как, по доказанному, , то, переходя в этом равенстве к пределу при ( что возможно в силу непрерывности функции ), получим или .
Из проведенных рассуждений следует однозначность решения функционального уравнения, так как это решение можно представить в заданном виде.
Определение 3.Класс уравнения (26) назовем классом уравнений, определяющих линейную функцию при выполнении условий 1) и 2).
Исследуем дальнейшие свойства линейной функции.
Исследуем монотонность линейной функции. Положим в уравнении (27) , , . Тогда получим или (30)
Если , то правая часть равенства (30) больше нуля и, значит, , то есть функция строго возрастает.
Если , то правая часть равенства (30) меньше нуля и, значит, , то есть функция строго убывает.
Исследуем ограниченность линейной функции. Найдем пределы линейной функции при стремящемся к бесконечности аргументе, так как при каждом конечном значении аргумента линейная функция также принимает конечное значение. Переход в равенстве (28) к пределу при , имеем .
Аналогично:
При требовании непрерывности класс уравнений (26) имеет своим решением определенный вид элементарных функций .
Определение 4. Решение класса функциональных уравнений (26) при условиях 1) и 2) называется линейной функцией и обозначается .