Определим элементарные функции, как решения функционального уравнения

Решение. . Введём новые функции , .
Ясно, что функция - чётная, а - нечётная функции, причём . Получим уравнение относительно новых функций и : , , , . Так как , то и
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что при любых числах , а функция является решением исходного уравнения.
Таким образом, поиск решения функционального уравнения сильно зависит от класса функций, в котором ищется решение. Мы рассмотрели некоторые методы решения функциональных уравнений. Особое место в теории функциональных уравнений занимают разностные уравнения, которые используются при решении многих прикладных задач.
2. Определение основных элементарных функций с помощью функциональных уравнений
При решении различных математических задач чаще других используются некоторые функции. Очевидно, что эти функции, наиболее, изучены и названы элементарными. Среди элементарных функций выделяют основные элементарные функции.
Функции , где - const, (степенная), ( , показательная), ( , логарифмическая), (тригонометрические), (обратные тригонометрические), называются основными элементарными функциями.
Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей конечное число арифметических операций, называется элементарной.
Например: , элементарные функции.
Рассмотрев элементарные функции, определим их, как решение функционального уравнения. Эта глава будет посвящена определению основных элементарных функций с помощью функциональных уравнений.


2.1 Линейная функция.
Для определения линейной функции составим функциональное уравнение, единственным решением которого является линейная функция. .
Найдем разность и сумму двух различных значений линейной функции: и .
(24)
(25)
Запишем уравнение (24) в виде функционального (26)
Проверим второе функциональное уравнение на основании равенства (25).
(27)
Докажем, что из уравнения (26) можно получить уравнение (27). Убедимся в том, что любое решение уравнения (26) является нечетной функцией. Для этого в уравнение (26) вместо подставим . Воспользуемся тем, что из вида линейной функции следует: . Таким образом, докажем, что . Затем вновь заменим x₂ на x₁ в уравнении (26), получим уравнение (27). Итак, каждое решение уравнения (26) является решением уравнения (27).
Докажем, что уравнение (27) можно преобразовать к виду уравнения (26).
Из проведенных выше рассуждений следует, что множество решений уравнений (26) и (27) совпадает, следовательно, эти уравнения эквивалентны.