Определим элементарные функции, как решения функционального уравнения

2.3 Определение логарифмической функции
Для составления класса уравнений, определяющих логарифмическую функцию , используем свойства логарифмов:

	(41)
	(42)

Составим соответствующие функциональные уравнения

	(43)
	(44)

Докажем эквивалентность полученных уравнений (43),(44).
Рассмотрим уравнение (43) при следующих условиях:

1. 
   непрерывна и отлична от постоянной функции в интервале ;
   
2. 
   .
   

Теорема 3. Класс функциональных уравнений (43) при условиях 1), 2) имеет единственное решение.
Доказательство. Для доказательства единственности решения функционального уравнения рассмотрим произвольное решение и введем замену переменных. Заменяя на по формуле , получим . Аналогично , то есть . При этом . C новой функцией уравнение (43) примет вид функционального уравнения, определяющего линейную функцию при известных условиях. При этом функция непрерывна как композиция двух непрерывных функций и
. Таким образом, для уравнения(43) выполнены условия определения линейной функции. Как было показано в предыдущем параграфе, в этом случае уравнение (43) имеет единственное решение: .
Так как функциональное уравнение (43) имеет единственное решение и каждой функции соответствует единственная функция , то функциональное уравнение (43) при условиях 1), 2) имеет единственное решение. Это единственное решение уравнения (43) можно положить в основу определения логарифмической функции. Так как , и поэтому можно считать, что , известно, что , значит, .
Возможен второй способ доказательства. Для доказательства единственности решения функционального уравнения рассмотрим произвольное решение и введем замену переменных. Заменяя на по формуле , получим . Аналогично , то есть . При этом . С новой функцией уравнение (43) примет вид функционального уравнения, определяющего линейную функцию при известных условиях. При этом функция непрерывна как композиция двух непрерывных функций и .
Таким образом, для уравнения(43) выполнены условия определения линейной функции. Как было показано в предыдущем параграфе, в этом случае уравнение (43) имеет единственное решение: .
Определение 7 . Решение класса функциональных уравнений (43) называется логарифмической функцией и обозначается при выполнении условий 1) - 3).