bo`lsin. U holda
11
Bunday, ya`ni har bir bog`liqmas tajriba natijasida to`la gruppa tashkil qiladigan ikkita
A
va
A
hodisalardan faqat bittasi albatta ro`y beradi deb qaraladigan tajribalar ketma-ketligi Bernulli sxemasi
deyiladi.
Ravshanki,
( )
p
q
A
P
−
=
=
1
Demak, har bir tajriba natijasida
A
hodisaning ro`y berish ehtimoly
( )
p
A
P
=
,
unga
qarama-qarshi
A
hodisaning ro`y berish ehtimoli
( )
q
A
P
=
bo`lsin. Asosiy masala
p
ta erkli tajribada
A
hodisasnning rosa
k
marta ro`y berishi ehtimolini topishdan iborat. Bu ehtimolni
( )
k
P
n
bilan
belgilaylik.
23.5-teorema.
p
ta erkli tajribada
A
hodisaning rosa
k
marta ro`y berish ehtimoli kuyidagi
formula bilan hisoblanadi:
( )
k
n
k
k
n
n
q
р
C
k
Р
−
=
(23.11)
bunda
(
)
.
...
3
2
1
!
,
!
!
!
n
n
k
n
k
n
C
k
n
⋅
⋅
=
−
=
Bu teorema quyidagicha mulohaza bilan isbotlanadi:
Bog`liq bo`lmagai
p
ta tajribaning har birida kuzatilayotgan
A
hodisaning ro`y berish ehtimoli
r
,
ro`y bermaslik
(
A
—hodisaning ro`y berishi) ehtimoli
(
)
p
q
q
−
=
1
bo`lsin.
Aytaylik,
p
ta tajribada
A
hodisa biror marta ham ro`y bermasin. Demak, birinchi tajribada
A
hodisa, ikkinchi tajribada ham
A
hodisa, va hokazo,
p
-
tajribada ham
A
hodisa ro`y bergan. Natijada
ushbu
(
)
43
42
1
та
n
A
A
A
...
.
murakkab hodisaga ega bo`lamiz. Uning ehtimoli erkli hodisalar uchun ehtimollarni ko`paytirish
teoremasiga asosan:
(
) ( ) ( ) ( )
.
...
...
...
n
та
n
та
n
та
n
q
q
q
q
A
Р
A
Р
A
Р
A
A
A
P
=
=
=
3
2
1
4
4 3
4
4 2
1
43
42
1
Bu holda, ya`ni
p
ta tajribada
A
hodisaning biror marta ham ro`y bermaslik extimoli
( )
n
q
P
=
0
bo`ladi.
Aytaylik,
p
ta tajribada
A
hodisa faqat bir marta ro`y bergan bo`lsin. Bunda quyidagi
p
ta
murakkab hodisaga ega bo`lamiz:
43
42
1
та
n
A
A
A
A
...
(birinchi tajribada
A
ro`y berdi),
43
42
1
та
n
A
A
A
A
...
(ikkinchi tajribada
A
ro`y berdi)
4
4 3
4
4 2
1
та
n
A
A
A
A
A
...
(uchinchi tajribada
A
ro`y berdi),
43
42
1
та
n
A
A
A
A
...
(
n
- tajribada
A
ro`y berdi).
Bu murakkab erkli hodisalarning ehtimollarni ko`paytirish teoremasiga asosan
(
)
( )
( ) ( )
1
...
...
...
−
=
⋅
=
=
n
pq
q
q
р
q
А
Р
А
Р
А
Р
А
А
А
А
Р
…………………………………………………….
12
(
) ( ) ( ) ( )
( )
1
...
...
−
=
=
n
pq
А
Р
А
Р
А
Р
А
Р
А
А
А
А
Р
.
p
ta tajribada
A
hodisaning bir marta ro`y berish ehtimoli birgalikda bo`lmagan hodisalar uchun
ehtimollarni qo`shish teoremasiga asosan
( )
(
)
(
) (
) (
)
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
−
=
=
+
+
+
+
=
+
+
=
=
+
+
+
+
=
n
n
n
n
n
n
n
р
q
C
n
рр
р
q
р
q
р
q
A
А
А
А
P
А
А
A
А
Р
А
А
А
А
Р
A
А
А
А
А
А
A
А
А
А
А
A
А
А
А
А
А
Р
Р
bo`ladi. Demak,
( )
.
1
1
1
−
=
n
n
n
р
q
C
Р
Aytaylik,
p
ta tajribada
A
hodisasi ikki marta ro`y bersin. Bu holda quyidagi
А
A
А
А
А
А
А
A
А
А
А
А
А
А
А
...
,
...
,
...
murakkab hodisalardan biri ro`y berdi. Ularning soni
(
)
2
2
1
n
C
n
n
=
−
bo`lib, har birining ehtimoli
2
2
−
n
q
p
ga teng bo`ladi. Yuqoridagidek,
p
ta tajribada
A
hodisaning
k
marta ro`y berish ehtimoli
( )
k
n
k
k
n
n
q
р
C
k
Р
−
=
(23.11)
ga teng bo`lishi ko`rsatiladi.
(23.11) formula Bernulli formulasi deb ataladi.
p
ta tajribada
A
hodisa ro`y bermasligi mumkin, bir marta, ikki marta va h.k.,
p
marta
ro`y berishi mumkin. Bunday hodisalar yig`indisi albatta muqarrar hodisa bo`ladi. Shuning uchun
ularning ehtimollari yig`indisi 1 ga teng bo`ladi. Demak,
( )
( )
( )
( )
1
...
2
1
0
=
+
+
+
+
n
Р
Р
Р
Р
n
n
n
n
, ya`ni
( )
∑
=
=
n
k
n
k
P
0
1.
Misol.
Har bir detalning yaroqli bo`lish
(A
hodisa) ehtimoli 0,8 ga teng. Tayyorlangan 5
detaldan 3 tasining yaraqli bo`lish ehtimoli topilsin.
echish.
Masala shartiga binoan
( )
( )
2
,
0
1
,
8
,
0
,
3
,
5
=
−
=
=
=
=
=
=
p
q
A
P
p
A
P
k
n
bo`lishini aniqlaymiz. Unda (23.11) Bernulli formulasiga ko`ra
( )
(
)
(
)
.
2048
,
0
2
,
0
8
,
0
!
3
5
!
3
!
5
8
,
0
1
8
,
0
3
2
2
3
5
5
=
⋅
⋅
−
=
−
⋅
⋅
=
C
P
23.3-eslatma.
Endi erkin tajribalar ketma-ketligida hodisaning ro`y berish sonini
µ
bilan belgilab,
quyidagi hodisalarni kiritamiz va ularning ehtimollarini yozamiz:
1) hodisaning
k
dan kam marta ro`y berish hodisasini
{
}
1
0
−
≤
≤
k
µ
desak, uning ehtimoli
{
}
( )
∑
−
=
=
−
≤
≤
1
0
1
0
k
m
n
n
m
P
k
P
µ
bo`ladi;
2) hodisaning
k
dan ko`p marta ro`y berish hodisasini
{
}
n
k
≤
≤
+
µ
1
desak, uning
ehtimoli
{
}
( )
∑
+
=
=
≤
≤
+
n
k
m
n
n
m
P
n
k
P
1
1
µ
bo`ladi.
3) hodisaning kamida
k
marta ro`y berish hodisasi
{
}
n
k
≤
≤
µ
ning ehtimoli
{
}
( )
∑
=
=
≤
≤
n
k
m
n
n
m
P
n
k
P
µ
bo`ladi.
13
4) hodisaning ko`pi bilan
k
marta ro`y berish ehtimoli
{
}
( )
∑
=
=
≤
≤
k
m
n
n
m
P
k
P
0
0
µ
bo`ladi.
5) hodisaning kami bilan
k
1
marta, ko`pi bilan
k
2
marta ro`y berish hodisasini
{
}
2
1
k
k
≤
≤
µ
desek, uning ehtimoli
{
}
( )
∑
=
=
≤
≤
2
1
2
1
k
k
m
n
n
m
P
k
k
P
µ
bo`ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: 
