Oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

 

11-§.  Katta sonlar konuni.. 

 

 Faraz 

etaylik 

 X

1

,X

2

,...,X

N

                          (1) 

 lar biror a-kiymatga ega bulgan iktisodiy kursatkichni ulchash natijasida paydo bulgan mikdorlar 

bulsin. Bu kiymatlarning xar biri a va unga kushilgan biror mikdor yigindiga teng buladi. Shu sababli 

kupincha amalda a -ning kiymati sifatida  



X

N

=

1

1

N

N

×

=

∑

α

α

                         (2)         

ni oladilar. 

Bu erda shunday savollar tugiladi. a= X

N

- desak buladimi? 

 a- 

X

N

 ayirma kancha buladi va u kaysi kiymatdan kichik bulishi kerak? 

 

Tekshirishlar natijasi tasodifiy mikdorlar bulganligi sababli. {| X

N

 -a|>

δ

} biror xodisa buladi. 

Agar bu xodisani A bilan belgilasak, ya`ni  

A={| X

N

 -a|>

δ

}             (3)  

desak, A-ning yuzaga kelish extimoli R(A)- kanchalik kichik, unda R(A)=1-R(A) kanchalik birga 

yakin bulsa amalda A-ni kam yuzaga keladigan A-ni esa kupincha yuzaga keladigan xodisa desak 

buladi. Bu xolda 

δ

-ning katta kichikligiga kura 

 a

≈

X

N      

               (4) 

deb olsak buladi. Agar tekshirishlar natijasi (1) uzaro boglik bulmagan tasodifiy mikdorlar ketma- 

ketligini tashkil etsa, N-istalgancha katta son bulsa, istalgan kichik son 

δ

 uchun R(A) istalgancha 

kichik son bular ekan. Ya`ni  

   lim {|

|

}

N

N

P X

a

→∞

−

=

f

δ

0             (5) 

buladi. 

---

 

27

 R(A)=R{|X

N

-a|>

δ

}-ning kichiklik darajasi 

δ

 va konkret amaliy xolatga boglikdir. 

 Cheb

ы

shev tengsizligi X tasodifiy mikdor. Matematik kutilma  a=MX va dispersiya 

δ

2

=DX 

ega, a va 

δ

2

- lar chekli, 

δ

>0 istalgancha kichik son bulsin. 

Teorema. Agar X yukorida keltirilgan shartlarni bajaruvchi tasodifiy mikdor va 

δ

>0 

istalgancha kichik son bulsa  

R{|X-a|>

δ

}

≤

ДХ

δ

2

                            (6) 

buladi. 

Isbot. A= R{|X-a|>

δ

}-belgilaymiz, g(x) - tasodifiy funktsiya kuyidagicha: 

  

 

 

1, agar A- xodisa yuzaga kelsa 

 

 

 

0, agar A - xodisa yuzaga kelsa. 

Mg(x)=1 P(A)+0 P(A)=P(A)= R{|X-a|>

δ

}                (7) 

buladi. 

f(x)=

(

)

x a

−

2

2

δ

ni belgilaymiz va bu funktsiya f(X)

≥

0 va f(X) 

≥

1 A xodisa yuzaga kelsa. 

Shuning uchun  

Mg(x)

≤

Mf(x)=M[

(

)

]

(

)

x a

M X a

DX

−

=

−

=

2

2

2

2

2

1

δ

δ

δ

       (8)  

buladi. (7) va (8) lardan: 

    R{|X-a|>

δ

}= M(g(X))

≤

 Mf(X)= 

1

2

δ

DX

, (6) yuzaga keladi. 

(6) 

- tengsizlikni Cheb

ы

shev tengsizligi deyiladi. 

Chebishev teoremasi. Agar X

1

,X

2

,...,X

N

 ,... tasodifiy mikdorlar ketma- ketligi juft- juft uzaro 

boglik bulmasalar dispersiyalari bir xil son bilan chegaralangan: DX

n

≤

C  n

≥

1 

bulsalar. 

Unda  

lim {|

(

)|

}