Oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

Puasson taqsimoti 

deb ataladi. Bu erda 

( )

;

1

!

!

0

0

0

0

=

=

⋅

=

=

=

−

−

∞

=

−

∞

=

−

∞

=

∑

∑

∑

e

e

e

k

e

k

e

k

P

k

k

k

k

k

n

λ

λ

λ

λ

λ

λ

 

---

 

21

chunki qatorlar nazariyasidan:

 

e

k

k

k

=

∑

∞

=

0

!

λ

 

ekanligi

 

ma`lum. 

 

9-§.  Uzluksiz tasodifiy miqdorlar.  

Biz yukorida diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonunini o`rgandik. Agar tasodifiy miqdor 

uzluksiz bo`lsa, bu tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari biror 

( )

b

а

;

 

oraliqni 

tashkil etadi. Binobarin bu holda tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini yuqoridagi o`xshash jadval shaklida 

yozib bo`lmaydi.

 

Faraz qilaylik, 

ξ

 

ixtiyoriy tasodifiy miqdor, 

x 

esa biror haqiqiy son bo`lsin. Qaralayotgan tasodifiy 

miqdor uchun ushbu {

x

<

ξ

} hodisani qaraylik. Bu tajriba natijasida ro`y bergan miqdorning 

x 

sondan 

kichik bo`lish hodisasini bildiradi. Endi shu hodisaning ehtimoli 

{

}

x

P

<

ξ

 

ni qaraylik. Ravshanki, bu ehtimol olingan 

x 

haqiqiy songa bog`liq, ya`ni 

x 

ning funktsiyasi bo`ladi. 

Odatda 

{

}

x

P

<

ξ

  ehtimol bilan aniqlangan funktsiya 

ξ

 tasodifiy miqdorning 

taqsimot funktsiyasi 

deb 

ataladi va 

G` (x) 

kabi belgilanadi:

 

G` (x)=

{

}

x

P

<

ξ

.                                               

(24.2)

 

Misol.

 Ushbu jadval bilan berilgan 

ξ

 diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonunining taqsimot 

funktsiyasi topilsin:

 

ξ

 -1 

0 

2 

2,5 

{

}

x

P

<

ξ

 

0,2 

0,3 

0,4 

0,1 

Jadvaldan ko`rinadiki, 

ξ

 tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari —1, 0, 2, 2,5 

bo`ladi. Bu sonlarni son o`qida yasaymiz. 

- 1, 0, 1, 2, 2,5 

Aytaylik, 

x

 

≤

 - 1 bo`lsin. Unda {

x

<

ξ

} hodisasi mumkin bo`lmagan hodisa bo`ladi. {

x

<

ξ

}

=V. 

Chunki bu holda tasodifiy miqdoriing 

x

<

ξ

 tengsizlikni qanoatlantiruvchi bitta ham qiymati

 

yo`q. 

Demak, 

G`(x)=R{

x

<

ξ

}

=

R(V)

=0 

bo`ladi. Endi -1 < 

x 

≤

 0 bo`lsin.

 

Bu holda {

x

<

ξ

} 

 

hodisasi {

x

<

ξ

}={

ξ

=-1) bo`ladi. Bundan esa 

G`(x)=R{

x

<

ξ

}

=

R(

ξ

=-1

)

=0,2 

kelib chiqadi. 

Endi 0<

 x 

≤

 2 bo`lsin.  

Bu holda {

x

<

ξ

}

 

hodisasi 

{

x

<

ξ

}

=

{

ξ

=-1

}

∪

{

ξ

=0

}

 

bo`lib, 

G`(x)=R{

x

<

ξ

}

=

R(

ξ

=-1

)+R{

ξ

=0

}=

 0,2 + 0,3 = 0,5 

bo`ladi. 

Faraz qilaylik, 2 < 

x 

≤

 2,5 bo`lsin. Bu xolda hodisa 

{

x

<

ξ

}

=

{

ξ

=1

}

∪

{

ξ

=0

}

∪

{

ξ

=2

}

 

bo`lib, 

G`(x)=R{

x

<

ξ

}

=

R{

ξ

=-1

}+R{

ξ

=0

}+R{

ξ

=2

}=

 0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9 

bo`ladi. 

Va, nihoyat, 

x 

> 2,5 bo`lganda 

{

x

<

ξ

}

 bo`lib, 

G`(x)=R{

x

<

ξ

}

=

R{U}

 = 1 

bo`ladi. 

Shunday qilib, qaralayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi 

---

 

22

( )

















>

≤

<

≤

<

−

≤

<

−

−

≤

=

булса

х

агар

булса

х

агар

булса

х

агар

булса

х

агар

булса

х

агар

x

F

5

,

2

,

1

,

5

,

2

2

9

,

0

,

2

0

5

,

0

,

1

1

2

,

0

,

1

,

0

 

bo`ladi.  

 

10-§. Tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikasi

 

Tasodifiy miqdor taqsimot qonunining berilishi shu tasodifiy miqdor haqida to`liq ma`lumot 

beradi. Ammo ba`zi hollarda tasodifiy miqdor to`g`risida ayrim, yig`ma ma`lumotlarni bilish 

lozim bo`ladi. Bunda tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari — tasodifiy miqdorning 

matematik kutilishi va dispersiyasi tushunchalari muhim rol o`ynaydi. Biz quyida shu tushunchalar 

bilan tanishamiz. 

Biror 

ξ

 

diskret tasodifiy mikdor berilgan bo`lib, u 

x

1

, x

2

, …, x

p

 

qiymatlarni mos ravishda 

r

1

, r

2

, …, r

p

 

ehtimollar  bilan qabul qilsin: 

24.1-ta`rif.

 Ushbu 

∑

=

=

+

+

+

n

k

k

k

n

n

р

х

р

х

р

х

р

х

1

2

2

1

1

...

 

yig`indisi 

ξ

 

diskret 

tasodifiy mikdorning matematik kutilishi 

deb ataladi va 

ξ

M

 kabi belgilanadi: 

∑

=

=

+

+

+

=

n

k

k

k

n

n

р

х

р

х

р

х

р

х

M

1

2

2

1

1

...

ξ

                              (25.1) 

 Demak, 

diskret 

tasodifiy 

mikdorning 

matematik kutilishi bu tasodifiy miqdorning qabul 

qilishi mumkin bo`lgan barcha qiymatlarini ularning mos ehtimollariga ko`paytmalari 

yig`indisidan iborat. 

 Tasodifiy 

miqdor 

matematik 

kutilishining 

ma`nosini anglash uchun bitta masalani 

qaraymiz. 

 Faraz 

qilaylik, 

n

 ta tajriba o`tkazilgan bo`lib, bunda 

ξ

 

tasodifiy mikdor 

x

1

, x

2

, …, x

k

 

qiymatlarni mos ravishda 

m

1

, m

2

, …, m

k

 

martadan qabul qilgan bo`lsin. Ravshanki, 

m

1

+m

2

+…+m

k

 = n. 

Qaralayotgan 

ξ

 

tasodifiy mikdor qabul qilgan qiymatlarining o`rta arifmetik qiymati (uni 

х

 bilan belgilaylik) 

n

m

x

m

x

m

x

k

k

+

+

+

...

2

2

1

1

 

ga teng bo`ladi. Bu miqdorni quyidagicha yozish mumkin: 

.

...

...

2

2

1

1

2

2

1

1

n

m

x

n

m

x

n

m

x

n

m

x

m

x

m

x

x

k

k

k

k

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

+

+

+

=

 

Agar 

n

m

i

  (

i = 1, 2, …, k) 

ni 

{

i

х

=

ξ

} 

hodisaning nisbiy chastotasi 

i

W

 ekanini hamda bu 

nisbiy chastota {

i

х

=

ξ

} hodisasining ehtimoli 

r

i

 {R{

i

х

=

ξ

} 

=

 r

i

) dan kam farq qilishini (

i

i

p

W

≅

) 

e`tiborga olsak, unda 

 

M

p

x

p

x

p

x

W

x

W

x

W

x

n

m

x

n

m

x

n

m

x

x

k

k

k

k

k

k

ξ

=

+

+

+

=

=

+

+

+

≈

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

...

...

...

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

 

ekanini topamiz. Demak, 

ξ

M

x

=

.   

Bu munosabat 

ξ

 tasodifiy miqdorning matematik qutilishi shu tasodifiy miqdor 

kuzatilayotgan qiymatlarining o`rta arifmetik qiymatiga taqriban teng ekanini ko`rsatadi 

(shuning uchun ham 

ξ

M

 ni ko`pincha 

ξ

 

tasodifiy miqdorning 

o`rtacha qiymati 

deb yuritiladi). 

---

 

23

Misollar.

 1. Binomial qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik 

kutilishi topilsin. 

echish.

 Bu holda, ma`lumki, 

ξ

 diskret tasodifiy miqdor 

0,1,2,…,k,…,p 

qiymatlarni 

mos ravishda 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

1

1

1

1

0

0

0

1

,

1

...,

,

1

...,

,

1

,

1

p

p

С

p

p

С

p

p

С

p

p

С

p

p

С

n

n

n

n

n

n

k

n

k

k

n

n

n

n

n

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

 

ehtimollar bilan qabul qiladi. 

ξ

 

diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi ta`rifga binoan  

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

∑

∑

=

−

=

−

−

−

−

−

−

=

−

=

−

+

+

−

+

+

−

⋅

+

−

⋅

=

n

k

k

n

k

k

n

n

k

k

n

k

k

n

n

n

n

n

n

k

n

k

k

n

n

n

n

n

p

p

k

С

p

p

k

С

p

p

n

С

p

p

k

С

p

p

С

p

p

С

M

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

...

1

...

1

1

1

0

ξ

 

bo`ladi. 

 

Endi bu tenglikning o`ng tomonidagi yig`indini hisoblaymiz. 

(

)

(

) (

)

(

) (

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

∑

∑

∑

∑

∑

=

−

−

=

−

−

=

−

=

−

=

−

−

−

−

−

=

−

−

−

−

=

=

−

−

−

=

−

−

=

−

n

k

k

n

k

n

k

k

n

k

n

k

k

n

k

n

k

k

n

k

n

k

k

n

k

k

n

p

p

k

n

k

n

np

p

p

k

n

k

n

np

p

p

k

n

k

n

p

p

k

n

k

n

k

p

p

k

С

1

1

1

1

1

1

1

.

1

!

!

1

!

1

1

!

!

1

!

1

1

!

!

1

!

1

!

!

!

1

 

(25.2) tenglikda 

1

−

k

 ni 

m

 bilan almashtiramiz. Unda 

(

)

(

) (

)

(

)

∑

=

−

−

−

−

−

−

n

k

k

n

k

p

p

k

n

k

n

1

1

1

!

!

1

!

1

 

yig`indi quyidagi ko`rinishga keladi: 

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

1

1

1

1

1

!

1

!

!

1

1

!

!

1

!

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

=

=

−

+

=

−

=

=

−

+

−

−

=

−

−

−

−

−

−

−

=

−

−

−

−

=

−

−

=

−

−

∑

∑

∑

n

n

n

m

m

n

m

m

n

n

m

m

n

m

n

k

k

n

k

p

p

p

p

C

p

p

m

n

m

n

p

p

k

n

k

n

       (25.3) 

(25.2) va (25.3) munosabatlardan 

(

)

p

n

p

p

k

С

n

k

k

n

k

k

n

⋅

=

−

∑

=

−

1

1

 bo`lishini topamiz. Natijada 

(

)

np

p

p

k

С

M

n

k

k

n

k

k

n

=

−

=

∑

=

−

1

1

ξ

 

kelib chiqadi. 

Demak, binomial qonun bilan taqsimlangan 

ξ

 diskret tasodifiy miqdorning matematik 

kutilishi 

np

M

=

ξ

 

ga teng bo`ladi. 

2. Puasson qonuni bo`yicha taqsimlangan tasodifiy mikdorning matematik kutilishi 

topilsin. 

echish.

 Bu holda, ma`lumki, 

ξ

 tasodifiy  miqdor

 0, 1, 2, …, n 

qiymatlarni mos 

ravishda 

...

,

!

...,

,

!

1

,

!

0

0

λ

λ

λ

λ

λ

λ

−

−

−

е

n

е

е

n

 ehtimollar bilan qabul qiladi. Matematik kutilish 

ta`rifiga ko`ra 

...

!

...

!

2

2

!

1

1

!

0

0

2

0

+

⋅

+

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

−

−

−

−

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

ξ

е

n

n

е

е

е

M

n

 

bo`ladi. Uni quyidagicha 

(

)

(

)

∑

∑

∑

∞

=

−

−

∞

=

−

∞

=

−

−

⋅

⋅

=

−

=

⋅

=

1

1

1

1

!

1

!

1

!

k

k

k

k

k

k

k

е

k

е

е

k

k

M

λ

λ

λ

λ

ξ

λ

λ

λ

 

---

 

24

yozib olamiz. Qatorlar nazariyasidan, ma`lumki, 

(

)

.

!

1

1

1

λ

λ

е

k

k

k

=

−

∑

∞

=

−

 

Natijada 

(

)

λ

λ

λ

λ

ξ

λ

λ

λ

=

=

−

=

−

∞

=

−

−

∑

е

е

k

е

M

k

k

1

1

!

1

                             (25.4) 

bo`ladi. 

Endi uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi tushunchasi bilan tanishamiz.

 

Faraz qilaylik, 

ξ

 uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi 

r(x) 

bo`lsin.

 

25.1-ta`rif.

 Ushbu  

( )

∫

+∞

∞

−

=

dx

x

xp

M

ξ

                                                  (25.5) 

miqdor 

ξ

 uzluksiz tasodifiy miqdorning matemagik kutilishi 

ξ

M  

deb ataladi.

 

Demak, uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi mavjud bo`lishi uchun (25.5) 

xosmas integral absolyut yaqinlashuvchi bo`lishi kerak.

 

Misollar. 

1. Tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin.

 

echish.

 Tekis taqsimlangan 

ξ

 tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi   ifodasini matematik 

kutilish ifodasi 

( )

∫

+∞

∞

−

=

dx

x

xp

M

ξ

 ga qo`yib,   hisoblaymiz: 

 

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

.

2

2

1

2

1

1

0

1

0

2

2

2

a

b

a

b

a

b

x

a

b

xdx

a

b

dx

x

xdx

a

b

dx

x

dx

x

xp

dx

x

xp

dx

x

xp

dx

x

xp

M

b

a

b

a

b

b

a

a

b

b

a

a

+

=

−

−

=

−

=

−

=

⋅

⋅

+

−

+

⋅

⋅

=

+

+

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∞

+

∞

−

+∞

∞

−

+∞

∞

−

ξ

 

Demak, tekis taqsimlangan 

ξ

 tasodifiy miqdorning matematik kutilishi: 

.

2

b

a

M

+

=

ξ

 

2. Normal qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin.

 

echish. 

Normal qonun bo`yicha taqsimlangan 

ξ

 tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi 

ifodasini (6- § ga qarang) matematik kutilish

 

ifodasiga qo`ysak, 

∫

+∞

∞

−











 −

⋅

=

dx

а

x

x

M

σ

ϕ

σ

ξ

1