|
23.7- teorema.
(Muavr — Laplasning lokal teoremasi). Agar Bernulli sxemasida
p
etarlicha katta bo`lib, har bir sinashda
A
hodisaning ro`y berish ehtimoli r (0
o`zgarmas bo`lsa, u holda
R
p
(k)
ehtimol uchun ushbu
( )
(
)
(
)
(
)
p
np
np
k
n
e
p
np
k
Р
−
−
−
−
≈
1
2
2
1
2
1
π
(23.21)
taqribiy formula o`rinli bo`ladi.
Agar
(
)
p
np
np
k
х
−
−
=
1
deyilsa, u holda
(
)
(
)
2
1
2
2
2
х
p
np
np
k
=
−
−
bo`lib, yuqoridagi (23.20) formula quyidagi ko`rinishga keladi.
( )
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
х
х
n
e
p
np
e
p
np
k
Р
−
−
⋅
−
=
−
≈
π
π
Ushbu
( )
2
2
2
1
х
e
х
−
=
π
ϕ
belgilash kiritsak, u holda
( )
(
)
( )
.
1
1
х
p
np
k
Р
n
ϕ
⋅
−
≈
(23.21)
Bu erda
( )
х
ϕ
juft funktsiya bo`lib, uning qiymatlari uchun jadvallar tuzilgan
Misol.
Har bir ekilgan chigitni unib chiqish
(A
hodisa) ehtimoli o`zgarmas bo`lib,
R(A)
=
r =
0,8 ga teng bo`lsa, ekilgan 100 ta chigitdan unib chiqqanlar soni 85 ta bo`lish ehtimolini
toping.
echish.
Masala shartiga ko`ra
p
= 100,
r = R(A)
= 0,8,
q =
1 - r = 0,2,
k
= 85.
Ravshanki, talab qilingan
R
100
(85) ehtimolni Bernulli formulasi bilan
( )
( ) ( )
15
85
100
2
,
0
8
,
0
!
85
!
85
!
100
85
⋅
=
Р
aniq hisoblash (n – katta bo`lgan holda) juda qiyin, bunday holda
r -
o`zgarmas (0
muvofiqdir. Bizni misolda bu taqribiy formuladan foydalanish uchun avvalo quyidagi miqdorni
hisoblaymiz:
.
25
,
1
4
5
16
80
85
2
,
0
8
,
0
100
8
,
0
100
85
=
=
−
=
⋅
⋅
⋅
−
=
−
=
npq
np
k
х
Muavr — Laplasning lokal teoremasiga asosan
( )
( )
( )
.
25
,
1
4
1
25
,
1
2
,
0
8
,
0
100
1
85
100
ϕ
ϕ
=
⋅
⋅
⋅
≈
Р
Ilovadagi jadvaldan
( )
1826
,
0
25
,
1
≈
ϕ
ekanligidan, talab qilingan ehtimollik
( )
0456
,
0
1826
,
0
4
1
85
100
=
⋅
≈
Р
bo`ladi.
Mazkur bobning 7-§ da
p
ta erkli tajribada
A
hodisaning kami bilan
k
1
marta va
ko`pi bilan
k
2
marta ro`y berish hodisasi
{
}
2
1
k
k
≤
≤
µ
ning ehtimoli bo`lishini ko`rgan edik.
{
}
( )
∑
=
=
≤
≤
2
1
2
1
k
k
m
n
n
m
P
k
k
Р
µ
16
Muavr — Laplasning integral teoremasn
p
etarlicha katta bo`lganda
{
}
2
1
k
k
Р
n
≤
≤
µ
ehtimolni taqribiy ifodalovchi formulani beradi.
23.8-teorema.
Bernulli sxemasida lokal teorema shartlari
{
}
2
1
k
k
Р
n
≤
≤
µ
ehtimol
uchun ushbu
{
}
(
)
(
)
∫
−
−
=
−
−
≈
≤
≤
−
p
np
np
k
dx
e
p
np
np
k
k
k
Р
x
n
1
1
2
1
1
2
2
2
1
2
π
µ
taqribiy formula o`rinli bo`ladi, bu erda 0 < r < 1.
Ushbu
( )
∫
−
=
Φ
x
t
dt
e
x
0
2
2
2
1
π
(23.23)
Laplas funktsiyasi toq funktsiya bo`lib, x ning turli qiymatlariga integralning mos qiymatlari jadvali
tuzilgan
Misol.
Tavakkaliga olingan pillaning
yaroqsiz chiqish ehtimoli 0,2 ga teng. Tasodifan
olingan 400 ta pilladan 70 tadan 130 tagacha yaroqsiz bo`lish ehtimoli
topilsin.
echish.
Shartga ko`ra
p
=
400,
k
1
=
70,
k
2
=
130,
r =
0,2,
q
= 1 -
r
= 0,8
bo`ladi. Ravshanki,
(
)
(
)(
)
.
25
,
6
;
25
,
1
8
10
2
,
0
1
2
,
0
1
2
,
0
400
2
,
0
400
70
1
1
=
′′
−
=
−
=
−
−
⋅
⋅
−
=
−
−
=
′
х
p
np
np
k
x
Yuqorida keltirilgan (23.24) formulaga muvofiq izlanayotgan ehtimol taxminan
{
}
{
}
(
) (
)
25
,
1
25
,
6
130
70
400
2
1
−
Φ
−
Φ
≈
≤
≤
=
≤
≤
µ
µ
Р
k
k
Р
n
bo`ladi. Jadvaldan hamda
( )
x
Φ
ning toq funktsiyaligini e`tiborga olib quyidagilarni topamiz:
F(-1,25) = -0,39435, F(6,25) = 0,5
(2-ilovaga qaralsin), u holda
{
}
(
)
89435
,
0
39435
,
0
5
,
0
130
70
400
=
−
−
≈
≤
≤
µ
Р
bo`ladi. Demak, izlanayotgan ehtimollik
{
}
.
89435
,
0
130
70
400
≈
≤
≤
µ
Р
Faraz qilaylik,
p
ta erkli tajribada
A
hodisa
µ
marta ro`y bersin. Har bir tajribada
A
hodisaning
ro`y berish ehtimoli r (0
n
µ
miqdor
A
hodisaning nisbiy chastotasi bo`ladi.
Yuqorida keltirilgan Muavr—Laplasning integral teoremasidan foydalanib, nisbiy chastota
n
µ
ning o`zgarmas ehtimol
r
dan chetla
nish ehtimolini topish mumkin:
0
>
∀
ε
olinganda ham ushbu
ε
µ
<
−
p
n
tengsizlik orqali ifodalanadigan hodisaning
ehtimoli uchun
(
)
−
⋅
Φ
≈
<
−
p
p
n
p
n
Р
1
2
ε
ε
µ
taqribiy formula o`rinli bo`lishini ko`rsatamiz.
Ravshanki,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
1
1
1
1
1
1
p
p
n
p
np
np
p
p
n
p
p
n
p
p
n
n
np
p
p
n
p
n
p
n
−
<
−
−
<
−
−
⇔
−
<
<
−
−
<
−
−
⇔
<
−
<
−
⇔
<
−
ε
µ
ε
ε
µ
ε
ε
µ
ε
ε
µ
Demak,
17
(
)
(
)
(
)
.
1
1
1
−
<
−
−
<
−
−
=
<
−
p
p
n
p
np
np
p
p
n
P
p
n
P
ε
µ
ε
ε
µ
(23.25)
Muavr—Laplasning integral teoremasidan foydalanib topamiz:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
0
2
1
1
2
2
2
−
Φ
=
=
=
≈
−
<
−
−
<
−
−
∫
∫
−
−
−
−
−
−
p
p
n
dx
e
dx
e
p
p
n
p
np
np
p
p
n
P
p
p
n
x
p
p
n
p
p
n
x
ε
π
π
ε
µ
ε
ε
ε
ε
Bu holda (23.25) munosabatdan
(
)
−
⋅
Φ
≈
<
−
p
p
n
p
n
P
1
2
ε
ε
µ
(23.26)
bo`lishi kelib chiqadi. Bu formuladai
ε
,
p
va ehtimol qiymatlarini topish mumkin.
Misol.
A
—tangani tashlash tajribasida tanganing gerbli tomoni bilan tushish xodisasi
bo`lsin. Tangani 400 marta tashlanganda
A
xodisa nisbny chastotasi
400
µ
ning 0,5 ehtimoldan
absolyut kiymat bo`yicha chetlanishi 0,08 dan kichik bo`lish ehtimolini toping.
echish.
Shartga ko`ra
p=
400,
r=
0,5,
ε
= 0,08. U holda (23.26) formulaga asosan:
( )
.
2
,
3
2
5
,
0
5
,
0
400
08
,
0
2
8
,
0
5
,
0
400
Φ
=
⋅
⋅
Φ
≈
<
−
µ
P
Jadvaldan F(3,2) = 0,49931 ni olsak,
99862
,
0
8
,
0
5
,
0
400
≈
<
−
µ
P
bo`ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
