Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги жиззах политехника институти «Олий математика»

Абсолют ва шартли яқинлашувчи қаторлар. Ўзгарувчан ишорали қаторнинг абсолют ва шартли яқинлашувчи каби муҳим тушунчаларни киритамиз.
1 – т а ъ р и ф. Ўзгарувчан ишорали
(1)
қатор ҳадлари абсолют қийматларидан тузилган
(2)
қатор яқинлашувчи бўлса, (1) абсолют яқинлашувчи қатор дейилади.
2 – т а ъ р и ф. Агар ўзгарувчан ишорали (1) қатор яқинлашувчи бўлиб, бу қаторнинг ҳадлари абсолют қийматларидан тузилган (2) қатор узоқлашувчи бўлса, у ҳолда берилган ўзгарувчи ишорали (1) қатор шартли ёки ноабсолют яқинлашувчи қатор дейилади.
2-м и с о л. Ишоралари навбатлашувчи

қатор шартли яқинлашувчи қатордир, чунки у яқинлашувчи (Лейбниц аломати бўйича), унинг ҳадлари абсолют қийматларидан тузилган

қатор эса узоқлашувчидир (гармоник қатор).
3-м и с о л. Ишоралари навбатлашувчи
1-
қатор абсолют яқинлашувчи қатордир, чунки у яқинлашувчилар (буни Лейбниц аломати бўйича текшириш осон), унинг ҳадлари абсолют қийматларидан тузилган
1+
қатор хам яқинлашувчи (курсаткичи бўлган умумлашган гармоник қатор).

Абсолют яқинлашувчи қаторнинг яқинлашиши ҳақида теорема. Ўзгарувчан ишорали қатор яқинлашувчанлигининг муҳим етарли шартини келтирамиз.
Т е о р е м а. Агар ўзгарувчан ишорали (1) қатор ҳадлари абсолют қийматларидан тузилган (2) қатор яқинлашса, у ҳолда берилган ўзгарувчан ишорали (1) қатор хам яқинлашади.
И с б о т и. ва мос равишда (1) ва (2) қаторларнинг -хусусий йиғиндилари булсин. билан барча мусбат, билан эса, хусусий йиғиндидаги барча манфий ишорали ҳадлар абсолют қийматлари йиғиндисини белгилаймиз. У ҳолда
= ,
Шунга кура (2) қатор яқинлашувчи, шу сабабли йиғинди лимитга эга. ва лар эса мусбат ва усувчи, шу билан бирга < ва < (чегараланган), демак, улар хам лимитга эга:

= - муносабатдан S_n хам лимитга эга эканлиги келиб чикади:
=
Демак, ўзгарувчан ишорали қатор яқинлашади.
Абсолют яқинлашиш тушунчаси ёрдамида бу теоремани яна бундай ифодалаш мумкин: хар кандай абсолют яқинлашувчи қатор яқинлашувчи қатордир.
3-м и с о л. Ўзгарувчан ишорали
(3)
қаторнинг яқинлашишини текширинг, бунда ихтиёрий хакикий сон.
Е ч и ш . Берилган қатор билан бирга
(4)
қаторни қараймиз. Бу қаторни яқинлашувчи
1+ (5)
гармоник қатор билан таққослаймиз.
(4) қаторнинг ҳадлари (5) қаторнинг мос ҳадларидан катта эмас, шу сабабли таққослаш аломатига кура (4) қатор яқинлашувчи. Аммо у ҳолда, исботланган теоремага асосан, (3) қатор хам яқинлашувчи.