Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги жиззах политехника институти «Олий математика»

2.4. Кошининг радикал аломати.

Т е о р е м а(Кошининг радикал аломати). Агар мусбат хадли

(12)
қатор учун миқдор да чекли лимитга эга бўлса, яъни
(13)
бўлса, у ҳолда
а) да қатор яқинлашади,
б) да қатор узоқлашади .
И с б о т и. Лимитнинг таърифидан ва (13) муносабатдан бирор номердан бошлаб нинг барча қийматлари учун, яъни дан бошлаб
ёки (14)
тенгсизлик ўринли бўлади, бунда >0 олдиндан танланган кичик сон.
а) бўлсин. У ҳолда (14) тенгсизликдан ёки эканлиги келиб чикади. Тенгсизлик бирор дан бошлаб, яъни барча лар учун бажарилади. деб белгилаймиз, ни шундай кичик килиб танлаймизки, да миқдор бирдан кичик бўлиб қолаверсин, яъни 0<q<1, ва демак, барча лар учун
ёки (15)
Иккала қаторни қараймиз
(16)
(17)
(17) қатор яқинлашувчи, чунки унинг ҳадлари махражи бўлган чексиз геометрик прогрессия ҳосил қилади.
(12) қаторнинг ҳадлари дан бошлаб (15) тенгсизликка биноан, (17) қаторнинг ҳадларидан кичик. Демак, (12) қатор илгари исботланган теоремаларга асосан яқинлашувчи.
б) бўлсин. (14) тенгсизликдан ёки эканлиги келиб чиқади. Тенгсизлик бирор дан бошлаб, яъни барча лар учун ўринли. деб белгилаймиз, ни шундай кичик килиб танлаб оламизки, l>1 да q микдор 1 дан катталигича қолаверади, яъни ва демак, барча дан бошлаб
ёки .
Аммо каралаётган қаторнинг барча хади, дан бошлаб, 1 дан катта бўлса, у ҳолда қатор узоқлашади, чунки унинг умумий хади нолга интилмайди.
Э с л а т м а. Д’Aламбер аломатидаги каби бўлган ҳолда Коши аломати ҳам қўшимча текширишни талаб килади.
8 - м и с о л. Қуйидаги қаторни яқинлашувчанликка текширинг

Е ч и ш: Бунда
, .
Демак, қатор яқинлашади.
9- м и с о л. Қуйидаги қаторни яқинлашувчанликка текширинг:

Е ч и ш. Бунда

Демак, қатор узоқлашувчи экан.