Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги жиззах политехника институти «Олий математика»

2.3. Қатор яқинлашишининг Д’Aламбер аломати.

Мусбат хадли қаторлар яқинлашиш ва узоқлашишининг етарли аломатларини ўрганишни давом эттирамиз. Дастлаб Д’Aламбер аломатини қараймиз.

Т е о р е м а(Д’Aламбер аломати). Агар
(5)
мусбат қаторда (n+1)- хаднинг n-хадга нисбати n→∞ да чекли l лимитга эга бўлса, яъни
(6)
бўлса, у ҳолда:
a) да қатор яқинлашади; б) да қатор узоқлашади.
И с б о т и. Лимитнинг таърифидан ва (6) муносабатдан ихтиёрий >0 сон учун нинг бирор номеридан бошлаб барча қийматлари учун
(7)
тенгсизлик ўринли бўлиши келиб чикади. ва булгандаги иккала холни қараймиз.
а) бўлсин, у ҳолда (7) тенгсизликдан ёки экани келиб чикади. Тенгсизлик барча лар учун бажарилади. деб белгилаймиз. ни шундай кичик килиб танлаймизки, нинг қиймати да дан кичик бўлсин, яъни тенгсизлик бажарилсин , демак,
(8)
(8) тенгсизликни унга тенг кучли булган

тенгсизлик билан алмаштирамиз. Охирги тенгсизликни нинг дан бошлаб турли қийматлари учун, яъни лар учун ёзиб, қуйидагиларга эга буламиз:

(9)
,
………………..
Иккита қаторни қараймиз.
(5)
(10)
қаторнинг ҳадлари мусбат махражли геометрик прогрессия ташкил килади. Демак, қатор яқинлашади.
(9) тенгсизликлардан (5) қаторнинг ҳадлари дан бошлаб (10) қаторнинг мос ҳадларидан кичик. Унда илгари исботланган теоремаларга асосан берилган (5) қатор яқинлашувчи.
б) бўлсин. У ҳолда (7) тенгсизликлардан бирор номердан бошлаб
ёки
. (11)
(11) тенгсизликни унга тенг кучли
.
тенгсизлик билан алмаштирамиз. Бу қаторнинг ҳадлари ( ) - номердан бошлаб усишини билдиради, шу сабабли қаторнинг умумий хади нолга интилмайди. Қатор яқинлашишининг зарурий шарти бажарилмайди, шу сабабли (5) қатор узоқлашади.
1-э с л а т м а. Агар бўлса, қатор узоқлашади, чунки бу ҳолда
ва , яъни (зарурий шарт бажарилмайди).
2-э с л а т м а. Агар мавжуд ва бирга тенг бўлса, ёки мавжуд булмаса, у ҳолда Даламбер аломати қаторнинг яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканини аниқлаш имконини бермайди. Бу масалани хал килиш учун бошқа аломатдан фойдаланиш керак.
5-м и с о л. Қуйидаги қаторни яқинлашувчанликка текширинг:

Е ч и ш. Бундан = , = ,
=
Демак, қатор узоқлашувчи.
6-м и с о л. Қуйидаги қаторни яқинлашувчанликка текширинг:

Е ч и ш. Бунда =
=
демак, қатор яқинлашувчи.
7- м и с о л. Қуйидаги қаторни яқинлашувчанликка текширинг:

Е ч и ш. Бунда
=
Қаторнинг яқинлашиши тўғрисида Д’Aламбер аломати асосида хулоса чиқариш мумкин эмас. Таққослаш аломатини қўллаймиз. Узоқлашувчи

гармоник қаторнинг ҳадлари, 2-хадидан бошлаб, берилган қаторнинг мос ҳадларидан кичик, таккослаш теоремасига биноан берилган қатор узоқлашувчи.