Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги жиззах политехника институти «Олий математика»

1.3. Қатор яқинлашишининг зарурий шарти.

Қатор яқинлашишининг зарурий шартини қараймиз, яъни шундай шартни аниқлаймизки, қатор яқинлашса бу шарт албатта бажарилади, бу шарт бажарилмаганда қатор узоқлашади.

Т е о р е м а. Агар (1) қатор яқинлашувчи бўлса, у ҳолда қаторнинг умумий хади чексиз ўсганда нолга интилади.
И с б о т и. (1) қатор яқинлашувчи , яъни лимит мавжуд бўлсин, бунда - қаторнинг
йиғиндиси(чекли сон). Аммо бу ҳолда , чунки → ∞ да ( -1) → ∞.
Қаторнинг умумий ҳади ни хусусий йиғиндилар ва билан ифодалаймиз: _. Қатор умумий ҳадининг лимитини хисоблаймиз:
_.
Шундай килиб, агар қатор яқинлашувчи бўлса, у ҳолда
(3)
Шуни исботлаш талаб қилинган эди.
Н а т и ж а. Агар қаторнинг умумий хади да нолга интилмаса, у ҳолда қатор узоқлашади.
4-мисол.

қатор узоқлашувчи, чунки
≠0
(3) тенглик ўринли бўладиган ҳар кандай қатор хам яқинлашувчи бўлавермайди. Бу шартнинг бажарилиши қатор яқинлашиши учун зарурий, аммо етарли шарт эмас, яъни қатор умумий ҳадининг нолга интилиши билан қаторнинг якнлашувчи эканлиги келиб чикавермайди, қатор узоқлашувчи бўлиши хам мумкин. Масалан, гармоник қатор деб аталувчи
1+ (4)
қатор учун

бўлишига қарамай, у яқинлашувчи эмаслигини исботлаймиз. Гармоник қаторнинг дастлабки бир неча ҳадини қуйидагидек гуруҳлаб ёзамиз:
1+ (
Ҳар қайси қавс ичидаги қўшилувчиларни уларнинг кичиги билан алмаштирамиз. Натижада
1+ +( (
га эга буламиз.
Ҳар қайси қавс ичидаги қўшилувчилар йиғиндиси кичиклашди ва га тенг бўлди. Охирги қатор чексиз кўп қисмларга эга булганлиги сабабли уларнинг йиғиндиси чексизликка интилади. Демак, гармоник қаторнинг йиғиндиси албатта чексизликка интилади. Шундай килиб, биз гармоник қаторнинг узоқлашувчи эканлигини исботладик.