Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги жиззах политехника институти «Олий математика»

2.6. Қатор қолдигини интеграл аломат ёрдамида баҳолаш.

Яқинлашувчи

(21)
қаторни қараймиз.
Т а ъ р и ф. Қаторнинг йиғиндиси билан, унинг -хусусий йиғиндиси орасидаги айирма қаторнинг -колдиги дейилади ва билан белгиланади:

Қаторнинг қолдиғи ҳам қатор бўлиб, у берилган (21) қаторни дастлабки та хадини ташлаш натижасида хосил булади:

Бу қатор олдинги мавзуда исботланган теоремага кўра яқинлашувчи. Шу теоремага кўра, аксинчасини ҳам тасдиқлаш мумкин: агар қаторнинг қолдиғи яқинлашувчи бўлса, у ҳолда қатор яқинлашувчи булади.
Қатор қолдиғининг таърифига кўра

бўлиши равшан. Ҳақиқатан ҳам,

Шу сабабли етарлича катта лар учун _. тақрибий тенгликка эга бўламиз. катталашган сари бу тенгликнинг аниқлиги орта боради. Қатор йиғиндиси ни унинг хусусий йиғиндиси билан алмаштирилгандаги абсолют хато, равшанки, қатор колдигининг модулига тенг:

Шундай килиб, агар қатор йиғиндисини гача аниқликда топиш талаб килинса, у ҳолда шундай сондаги дастлабки ҳадлар йиғиндисини олиш керакки, тенгсизлик бажарилсин. Шунга қарамай, кўп ҳолларда биз қолдикни аниқ топа олмаймиз. Шу сабабли, қолдикнинг модули берилган сондан катта булмайдиган қолдикнинг номерини қандай топиш кераклигини аниқлашимиз керак. Мусбат ишорали қатор қолдиғини интеграл аломат ёрдамида баҳолаш ҳақидаги ушбу теорема саволга жавоб беради.
Т е о р е м а. Агар мусбат хадли (21) қатор интеграл аломатининг талабларига жавоб берса, у ҳолда унинг қолдиғи қуйидаги тенгсизликларни каноатлантиради:

И с б о т и. Бирор номерни танлаймиз. Юкоридан функция графиги билан чегараланган, асоси дан гача булган эгри чизикли трапецияни қараймиз, олдинги пунктдагига ўхшаш.
ёки тенгсизликларни тузиш мумкин. Равшанки, охирги тенгсизликни хусусий йиғиндилар орқали ифодалаш мумкин:
_.
Бундан қуйидаги иккита тенгсизликка эга буламиз:
. ва (22).
Яқинлашувчи қаторлар учун да (22) тенгсизликларда лимитга утамиз.
= - яқинлашувчи,
,
(бунда S-қатор йиғиндиси) эканини хисобга олиб, (22) ни бундай ёзиш мумкин:
. ва ёки
_n-1, , >R_n (23)
(23) нинг 1-тенгсизлигида ни билан алмаштириб, ушбу
_n ва >R_n
тенгсизликларга эга буламиз. Бу тенгсизликларни қўштенгсизлик шаклида бирлаштириб,
_n<
ифодага эга буламиз. Шуни исботлаш талаб килинган эди.
11-м и с о л. Ушбу
S=1+
қатор йиғиндисини 0,1 гача, (яъни =0,1) аниқликда топинг,
Е ч и ш. Яқинлашувчи (умумлашган гармоник, р=3>1) қаторга эгамиз. Қаторнинг ҳадлари монотон камаювчи
f(x)=
функциянинг мос қийматларидан иборат. Шу сабабли қаторнинг n-колдиги
R_n=
учун ушбу баҳога эгамиз:
R_n< R_n< ёки
тенгсизликни ечиб, 2n²>10 ёки n> 2,24 тенгсизликка эга буламиз. деб қабул қиламиз. Шундай қилиб,
S₃=1+
Бу қийматни яхлитлаб қатор йиғиндисининг тақрибий қийматини топамиз: S 1,2.