Oddiy differensial tenglamalar sistemasi

I BOB. BIRINCHI TARTIBLI ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR.

1. 
   Umumiy tushunchalar.
   

Tabiatda uchraydigan turli jarayonlar (avtomobil harakati, sayyoraning uchishi,fizik va ximik va biologik jarayonlar va h.k) o’z harakat qonunlariga ega. Ba’zi jarayonlar bir xil qonun bo’yicha sodir bo’lishi mumkin, bu hol esa ularni ishini o’rganish ishini yengillashtiradi. Ammo jarayonlarni tavsiflaydigan qonunlarni to’g’ridan to’g’ri topish har doim ham mumkin bo’lavermaydi. Xarakterli miqdorlar va ularning hosilalalari va differensiallari orasidagi munosabatni topish tabiatan yengil bo’ladi. Bunda noma’lum funksiya yoki vektor funksiya hosila yoki differensial ishorasi ostida qatnashgan munosabat hosil bo’ladi. Jumladan,

birinchi tartibli oddiy differensial tenglamadeyiladi.

birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilmagan oddiy differensial tenglama deyilsa,

n-tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.


n-tartibli yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglama deyiladi.

1- ta’rif. Agar yoki lar va argumentlarga nisbatan chiziqli funksiyalar bo’lsa, tegishli differensial tenglama chiziqli deyiladi

n-tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.

yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan yoki kanonik ko’rinishga keltirilgan n-tartibli oddiy differensial tenglamadeyiladi
.Bu tenglamalarda noma’lum funksiya bitta bo’lib, tenglamada uning hosilalari ishtirok etadi.
,
Bu yerda n ta noma’lum funksiya va n ta tenglama qatnashadi. Shuning uchun bu sistema birgalikda yechiladigan sistema bo’lib, uning tartibi
ga teng. Bu sistemani yechish uchun noqulay, shuning uchun uni quyidagicha qulayroq ko’rinishga keltiramiz. Barcha tenglamalardan larning yuqori tartibli hosilalariga nisbatan yechib,

tenglamaga differensial tenglamaning kanonik sistemasi deyiladi.

tenglamani yuqoridagidek soddalashtiramiz. Bu tengliklar yordamida sistemaning birinchi tenglamasini quyidagi ta tenglamaga almashtiramiz.
₍₃₎
sistemaning ikkinchi tenglamasini quyidagi ta tenglamaga almashtiramiz.



Shunday qilib, sistemani unga ekvivalent bo’lgan quyidagi faqat 1-tartibli hosilalar qatnashgan

sistemaga almashtiramiz. Bu sistema ta noma’lum va shuncha tenglamadan tashkil topgan bo’lib,undagi o’zgaruvchilarni qaytadan nomerlab chiqib, quyidagi muhim sistemaga bo’lamiz. ga differensial tenglamalarning normal sistemasi deyiladi.

Demak, har qanday ko’rinishdagi sistemani ko’rinishga keltirish mumkin ekan,shuning uchun bundan keyin sistema bilan ish ko’ramiz.

Har qanday tenglamani tenglama ko’rinishda yozish mumkin,buning uchun

Endi tenglamani ko’rinishga keltiramiz. Buning uchun sistemaning birinchi tenglamasini bo’yicha differensiallaymiz:





dan gacha bo’lgan tenglamalardan larga nisbatan yechib, tenglamaga keltirib qo’yib,bitta tenglamani hosil qilamiz . Bu tenglamaning tartibi bo’ladi.


belgilasak,u holda

ko’rinishda yozish mumkin.Agar umumiy yechim xususiy yechim esa yoki lar tayinlangan bo’lsa, yechimi tayinlangan bo’lsa, xususiy yechim deb yoziladi. funksiyadan bo’yicha olingan hosila quyidagi ko’rinishda bo’ladi: