Oddiy differensial tenglamalar sistemasi

II BOB. O’ZGARUVCHILARI AJRALADIGAN ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR


2.1. O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar
Ushbu
(1)
Tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi, bu yerda , -berilgan uzluksiz funksiyalar, ,

1. 
   tenglamani yechish uchun, avvalo uning ikkala tomonini ko’paytmaga bo’lib, so’ngra hosil bo’lgan tenglik integrallanadi:
   

(2)
Bu yerdagi integrallarni hisoblab, (1) tenglamaning umumiy integrali topiladi.Bundan tashqari, agar va funksiyalar, mos ravishda va nollarga ega bo’lsa, u holda va funksiyalar ham (1) tenglamani qanoantlantiradi.Demak, (1) tenglamaning barcha yechimlarini hosil qilish uchun va funksiyalarning nollarini (2) integral egri chiziqlar oilasiga qo’shib qo’yish kerak .
a,b,c – berilgan sonlar bo’lsin.Ushbu
(3)
Ko’rinishdagi tenglamalar almashtirish yordamida o’zgaruvchilari ajraladidan tenglamga keltiriladi.
1-misol. Ushbu tenglamaning umumiy yechimini va shartni qanoantlantiruvchi yechimini toping.
Bu tenglamaning ikkala tomonini bevosita integrallab, umumiy yechimini olamiz.Shu tenglamaning boshlang’ich shartni qanoantlantiruvchi yechimi ko’rinishda bo’ladi.
2-misol. tengalamani yeching.
Bu tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tengalamadir.Uning ikkala tomonini ifodaga bo’lib, o’zgaruvchilarini ajratamiz va integrallaymiz.Natijada ko’rinishdagi umumiy integralni olamiz.
3-misol. tenglamani yeching.
Bu tenglama ham o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir.Uning ikkala tomonini ifodaga bo’lib, o’zgaruvchilarini ajratamiz va integrallaymiz.Natijada ko’rinishdagi umumiy yechimni olamiz.
Endi bo’lsin deb faraz qilamiz. funksiyani berilgan tenglamaga qo’yib, uning yechim ekanligiga ishonch hosil qilamiz. yechim umumiy yechimdanC o’zgarmasning hech bir qiymatida kelib chiqmaydi. Bevosita tekshirish ko’rsatadiki, yechim umumiy yechimdan da kelib chiqadi.Shundayqilib, mazkur tenglamaning barcha yechimlari , ko’rinishda bo’ladi.Differensial tenglamaning eng sodda turi o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamadir: (4)
Uning o’ziga xos tomoni shundaki, ning oldidagi ko’paytuvchi faqat ga bog’liq bo’lishi mumkin bo’lgan funksiya, ning oldidagi ko’paytuvchi esa faqat ga bog’liq bo’lishi mumkin bo’lgan funksiyadir. Bu tenglamaning umumiy integrali uni hadlab integrallash orqali hosil qilinadi:

Ixtiyoriy o’zgaramasni berilgan tenglama uchun qulay bo’lgan istalgan ko’rinishda olish mumkin.