Oddiy differensial tenglamalar sistemasi

4-misol. tenglamaning har qanday integral egri chizig’i ikkita gorizontal asimtotalarga ega ekanligini ko’rsating.
Bu masalada tenglama o’zgaruvchilarga ajraladi, lekin hosil bo’lgan integrallar elementar funksiyalari yordamida ifodalanmaydi.Biroq, u integralni yaqinlashishga tekshirib, qo’yilgan savollarga javob topish mumkin.
Berilgan tenglamada o’zgaruvchilarni ajratamiz va so’ngra integrallaymiz:
(5)
Bu yerda - tekislikdagi ixtiyoriy nuqta.
Endi (5) tenglikda ni ga intiltiramiz.U holda xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lganligi uchun ham mavjud va chekli bo’ladi.Buni va xosmas integral uzoqlashuvchi ekanligini e’tiborga olsak, limit mavjud va chekli ekanligi kelib chiqadi.Bundan tashqari, bo’lganligi uchun tengsizlik ham bajariladi.
(5) da bo’lsin.U holda
bu yerda
Demak, . Shunday qilib, (5) formula integral egri chiziqlarning shunday oilasini tasvirlaydiki, bu egri chiziqlarning har biri ikkita gorizontal va asimptotalarga ega.
2.2. Mavjudlik va yagonalik teoremalari
Ushbu
(1)
Koshi masalasini o’rganamiz.Qanday shartlar barilganda Koshi masalasining yechimi mavjud va yagona bo’lishi bizni qiziqtiradi.
Agar funksiya to’g’ri to’rtburchakda aniqlanga bo’lib, shunday musbat L son topilsaki, va tengsizliklarni qanoantlantiruvchi ixtiyoriy lar uchun
(2)
tengsizlik bajarilsa, u holda funksiya T to’rtburchakda o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini qanoantlantiradi deyiladi.
Pikar teoremasi. Berilgan funksiya T to’rtburchakda y o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini qanoantlantirsin hamda

bo’lsinuholdaKoshimasalasi oraliqdayagonayechimgaega.
PikarteoremasiningshartlaribajarilgandaKoshimasalasiningyechimiushbu
(3)
Rekurrent formula bilan aniqlanadigan tekis yaqinlashuvchi funksiyalar ketma-ketligining dagi limiti sifatida topilishi mumkin.
Koshi masalasining aniq yechimi uning ko’rinishdagi n-yaqinlashishiga almashtirishdagi xatolik

tengsizlikbilannaiqlanadi.