Oddiy differensial tenglamalar sistemasi

Peano teoremasi. Agar funksiyaT to’rtburchakda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, u holda Koshi masalasi oraliqda kamida bitta yechimga ega bo’ladi.
Yechimni davom ettirish.Ko’p hollarda Koshi masalasining yechimi yuqoridagi teoremalarda ko’rsatilgan oraliqda kengroq oraliqda ham mavjud bo’ladi.
Agar Pikar teoremasining shartlari yopiq sohada bajarilsa, uholda (1) masalaning yechimi shu sohaning chegarasigacha davom ettirish mumkin. Quyida shunga oid ba’zi faktlarnikeltiramiz.
Agar funksiya polosada aniqlanga va uzluksiz bo’lib, tengsizlikni qanoantlantirsa,(bu yerda va -uzluksiz funksiyalar), uholda (1) masalaning har qanday yechimini butun intervalda davom ettirish mumkin.
1-misol.
Yagonalikning biror yetarli shartidan foydalanib, xOy tekislikda shunday sohasini ajratinki, bu sohaning har bir nuqtasi orqali tengalamaning faqat bitta yechimi o’tsin.
Bu yerda bo’lganda tenglamaning o’ng tomoni uzluksiz va bo’yicha uzluksiz xususiy hosilga ega ekanligi ravshan.Shunga binoan, Pikar teoremasiga ko’ra, xOy tekislikning to’g’ri chiziqlardan boshqa bir nuqtasi orqali qaralyotgan tenglamaning yagona integral egri chizig’I o’tadi.
2-misol.
Quyidagi tenglamalar va sistemaning yechimlari koordinatalar boshining atrofida nechanchi tartibli hosilalarga ega.

1. 
   , c)
   
2. 
   ,
   

1. 
   funksiya , uzluksiz xususiy hosilalarga ega va koordinatalar boshining atrofida differensiallanuvchi emas(chunki funksiya x=0 hosilaga ega emas). Shuning uchun , masalaning yechimi ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’ladi.
   
2. 
   bo’lganligi uchun masala koordinatalar boshining atrofida to’rt marta uzluksiz differensiallanuvchi yechimga ega.
   
3. 
   Bu holda funksiyalar nuqtaning atrofida uzluksiz, ammo hosila bu nuqtada uzilishga ega bo’lganligi uchun berilgan tenglamalar sistemasi yechimlarining faqat uzluksiz differensiallanuvchanligi kafolatlash mumkin, xolos.
   

3-misol.
ko’rinishdagi tenglama yechimning yagonalik shartlari yordamida tenglamani tadqiq qiling.
Avval (4)
ko’rinishdagi tenglamalar uchun yagonalik shartlarini o’rganamiz.
tekislikda biror nuqtani olaylik.Agar bo’lsa, u holda (4) tenglamaning o’ng tomonidan Lipshits shartini qanoantlantirish talab etilmasa ham bu nuqta orqali yagona integral egri chiziq o’tadi.Agar biror o’zgarmas C da bo’lsa, u holda yechim
(5)
Ko’rinishda bo’ladi. (5) yechimning nuqtalarida qanaqa shartlar bajarilganda yagonalik o’rinli bo’lishini tekshiramiz.
da boshlang’ich qiymatlarini olib, da deb faraz qilaylik, ( ning o’rniga ni olib, bo’lgan holni, ning o’rniga ni olib esa bo’lgan holni hosil qilish mumkin).Biz yechimning yagonaligini faqat polosadagi integral egri chiziqlarga nisbatan o’rganamiz. nuqta orqali o’tuvchi integral egri chiziqlar quyidagi formula yordamida topiladi:
(6)
(6) formulada ni C ga intiltiramiz; o’ng tomondagi integral xosmas integral bo’ladi.Bu yerda ikkita hol bo’lishi mumkin.