Oddiy differensial tenglamalar sistemasi

Klero tenglamasining umumiy yechimini topamiz.(2) Klero tenglamasining (5) ko’rinishdagi yechimlari geometric nuqtai nazardan to’g’ri chiziqlar oilasini tasvirlaydi.
Agar (4) tenglamaning ikkinchisidan p parametrni o’zgaruvchining funksiyasi sifatida topib, va funksiyani (3) ifodaga qo’ysak, u holda
(6)
Funksiya hosil bo’ladi. (6) ifodadagi funksiya shartni qanoantantiradigan biror funksiya ekanligini bilgan holda (6) funksiya Klero tenglamasining yechimi bo’lishini ko’rsatish qiyin emas.
(6) yechim (5) umumiy yechimdan C o’zgarmasning hech bir qiymatida hosil bo’lmaydi.Yuqorida bayon qilingan maxsus yechimlar nazariyasini qo’llab, (6) ko’rinishdagi yechim (2) Klero tenglamasining maxsus yechimi bo’lishini ko’rsatish qiyin emas.Bu maxsus yechim va tenglamalardan p parametrni yo’qotish natijasida hosil bo’ladi.Shunday qilib, Klero tenglamasining maxsus yechimi (5) formula bilan berilgan integral to’g’ri chiziqlar oilasining o’ramasini aniqlaydi.
Lagranj tenglamasi ham parameter kiritish yo’li bilan yechiladi.Buning natijasida (1) Lagranj tenglamasi
(7)
ko’rinishni oladi. (7) ifodaning ikkala tomonini bo’yicha differensiallab,
(8)
Tenglamani hosil qilamiz.Bu tenglamadan ba’zi yechimlarni birdaniga topish mumkin: bu tenglama p parametrning shartni qanoantlantiradigan har qanday o’zgarmas qiymatida ayniyatga aylanadi.Aytaylik, son funksional tenglamaning yechimi bo’lsin.U holda
(9)
Funksiya (1) Lagranj tenglamasining yechimi bo’lishini bevosita tekshirib ko’rish mumkin.
Endi umumiy yechimni topamiz.

ko’rinishda yozib olamiz va ni p ning funksiyasi deb qaraymiz.Hosil bo’lgan tenglama p o’zgaruvchining funksiyasiga nisbatan chiziqli differensial tenglama bo’ladi.Bu tenglamani yechib, umumiy yechimini topamiz. va ifodalardan p parametrni yo’qotib bo’lmasa, u holda (1) tenglamaning umumiy yechimi parameter ko’rinishda yoziladi: , . Lagranj tenglamasing yechimlari qatoriga (9) ko’rinishdagi to’g’ri chiziqlarni ham(agar shunday yechimlar bor bo’lsa) qo’shib qo’yish kerak.