Oddiy differensial tenglamalar “ fanidan kurs ishi mavzu: “Tartibi kamayadigan differensial tenglamalar. Oraliq integrallar.”

I Bob. Yuqori tartibli differensial tenglamalar.

Yuqori tartibli differensial tenglamalar haqida tushuncha

n-tartibli chiziqli differensial tenglama deb,

y⁽ⁿ⁾+p₁(x)y^(n-1)+p₂(x)y^(n-2)+ … +p_n(x)yʹ+p_n(x)y=f(x) (1)

ko’rinishidagi tenglamaga aytiladi. Bu yerda p₁(x), p₂(x), … , p_n(x) va f(x) lar biror [a , b] kesmada uzluksiz funksiyalar.

Agar f(x) 0 bo’lsa, (1) yenglama chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglama deyiladi. Aks holda, ya’ni f(x)=0 bo’lsa, (1) tenglama

y⁽ⁿ⁾+p₁(x)y^(n-1)+p₂(x)y^(n-2)+ … +p_n(x)yʹ+p_n(x)y=0 (2)

ko’rinishga kelib, chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi.

1. Agar n ta _{1, 2}, … , _n bir vaqtda nolga teng bo’lmagan sonlar mavjud bo’lib, [a , b] kesmada barcha x lar uchun

₁y_{1+ 2}y₂+ … + _n y_n=0 (3) y₁, y₂, … ,y_n funksiyalar sistemasi [a , b] kesmada chiziqli bog’liq deyiladi.

Aks holda, ya’ni (3) ayniy munosabat faqat ₁= ₂= … = _n =0 bo’lganda bajarilsa, u holda y₁, y₂, … ,y_n funksiyalar sistemasi chiziqli erkli deyiladi.

Agar y₁, y₂, … ,y_n funksiyalar (n-1) marta differensiallanuvchi bo’lsa, u holda ulardan tuzilgan ushbu

y₁ y₂ … y_n

W (y₁, y₂, … ,y_n )= y₁ ' y'₂ … y'_n

… … … …

y₁^(n-1) y₂^(n-1)…y_n^(n-1)

determinant Vronskiy determinanti yoki vronskian deyiladi. Vronskian funksiyalar sistemasining chiziqli bog’liqligi yoki chiziqli erkliligini tekshirish vositasi hisoblanadi. Uning qo’llanilishi quyidagi ikkita teoremaga asoslangan.

1-teorema. Agar y₁, y₂, … ,y_n funksiyalar chiziqli bog’liq bo’lsa, u holda sistemaning vronskiani aynan nolga teng bo’ladi.

2-teorema. Agar y₁, y₂, … ,y_n chiziqli erkli funksiyalar bo’lib, ular birorta n- tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamani qanoatlantirsa, u holda bunday sistemaning vronskiani hech bir nuqtada nolga aylanmaydi.

1.n- tartibli chiziqli bir jinsli differebsial tenglamaning y₁, y₂, … ,y_n xususiy yechimlar sistemasi n ta chiziqli erkli funksiyadan iborat bo’lsa, bu sistemani fundamental sistema deymiz.

1-teorema. Agar y₁, y₂, … ,y_n funksiyalar (2) tenglama yechimlarining fundamental sistemasini tashkil etsa, u holda ularning

y= C₁y₁+ C₂y₂+ … + C_ny_n

chiziqli kombinatsiyasi bu tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.

2-teorema. Chiziqli bir jinsli bo’lmagan (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi bu tenglamaning ỹ xususiy yechimi va unga mos bir jinsli (2) tenglamaning ӯ umumiy yechimi yig’indisidan iborat, ya’ni

y= ỹ+ ӯ.

Agar (2) ning chiziqli erkli y₁, y₂, … ,y_n yechimlari ma’lum bo’lsa, u holda o’zgarmaslarni variatsiyalash usulini qo’llab , (1) ning umumiy yechimini

y= C₁(x)y₁+C₂(x)y₂+ … +C_n(x)y_n

formula bo’yicha topish mumkin, bundagi C_i(x) lar

(k= 0, … (n-2).) (3)

sistemadan topiladi.

Misol. O’zgarmaslarni variatsiyalash usulidan foydalanib, ushbu

xy''+(2x-1)y'=-4x² (1) bir jinslimas tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish. Avval berilgan tenglami y''+ y'=-4x (x ko’rinishif=da yozib olamiz. Mos bir jinsli y''+ y'=0 tenglamani y'= p va y''= p' deb, o’zgaruvchilari ajraladigan p'+ p=0 tenglamaga keltiriladi. O’zgaruvchilarni ajratib, so’ngra integrallasak, quyidagilarga ega bo’lamiz:

=- p, = dx, ln = - 2x+ln +ln ,

ln = - 2x p=C₁xe^-2x

p ni y' ga almashtiramiz: y'= C₁xe^-2x. Hosil qilingan tenglamani integrallasak, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi y= C₁xe^-2x(2x+1)+C₂ kelib chiqadi.

Berilgan tenglamaning umumiy yechimini y= C₁(x)e^-2x(2x+1)+C₂ (x) ko’rinishida izlaymiz. (3) ga ko’ra C₁(x) va C₂(x) funksiyalar

sistemani qanoatlantiradi. Undan :

C₁^'(x)= , C₁(x)= +C₁,

C₂^'(x)= -2x-1, C₂(x)=-x²-x+C₂

Topilgan C₁(x) va C₂(x) funksiyalarni (2) ga qo’ysak berilgan (1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi :

Y=C₁ +C₂-x²-x .