Oddiy differensial tenglamalar “ fanidan kurs ishi mavzu: “Tartibi kamayadigan differensial tenglamalar. Oraliq integrallar.”

Misollar.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.

Koshi masalalarini yeching.

1.

2.

3.

4.

5.

Oraliq integrallar

n- tartibli

F(x, y, yʹ, yʹʹ, … ,y⁽ⁿ⁾ )= 0 (1)

differensial tenglama berilgan bo’lsin.

Ma’lumki, bu tenglamaning umumiy integrali va ixtiyoriy n ta

c₁, c₂, … ,c_n o’zgarmas sonlar orasidagi

ɸ (x, y, c₁, c₂, … ,c_n)= 0 (2)

bog’lanishdan iborat edi.

Boshqacha qilib aytganda (2) tenglik va undan y ga nisbatan ketma- ket olingan hosilalaridan tuzilgan tenglamalar sistemasidan ixtiyoriy o’zgarnas c_i (i=1,2,...,n ) larni yo’qotish natijasida (1) tenglama hosil bo’lsa , (2) ifodaga (1) ning umumiy integrali deyiladi.

Faraz qilaylik , ψ (x, y, yʹ, yʹʹ, … , y^(k), c_k+1, c_k+2, … , c_n )= 0 (3) ifoda berilgan bo’lsin.

Bunda c_i (i= k+1, … , n ) ixtiyoriy o’zgarmas sonlar (3) ni y ga nisbatan ketma- ket n-k marta differensiallaymiz .

yʹ+ yʹʹ+ y^(k+1)= 0x^n-k



+ y⁽ⁿ⁾= 0

(3) va (4) tenglamalardan c_i (i= k+1, … , n) ixtiyoriy o’zgarmas sonlarni yo’qotish natijasida (1) tenglama hosil bo’lsa (3) ga (1) tenglamaning oraliq integrali deyiladi.

Agar oraliq integral bitta ixtiyiriy o’zgarmas c₁ ga bog’liq bo’lsa, ya’ni ψ (x, y, yʹ, yʹʹ, … ,y^(n-1), c₁)= 0 bunga (1) differensial tenglamaning birinchi integrali deyiladi.

Agar (3) ifodani differensial tenglama deb qarasak, unung o’zi ham n-tartibli differensial tenglamadan iborat bo’ladi. Bu tenglamaning har qanday yechimi (1) tenglamaning ham yechimi bo’ladi.

Haqiqatdan ham, y=y(x) (3) tenglamaning yechimi bo’lsa, u (3) va (4) tenglamalarni ayniyatga aylantiradi, (1) esa (3) va (4) ning natijasi bo’lganligi sababli, bu funksiya (1) ni ham qanoatlantiradi. Ya’ni u (1) ning ham yechimi bo’ladi.

Agar (3)ni ga nisbatan ketma- ket marta integrallasak , uning umumiy integralida c_k+1, c_k+2, … ,c_n ixtiyoriy sonlardan tashqari c₁, c₂, …, c_k ixtiyoriy o’zgarmas sonlar ham qatnashadi.

Yuqorida aytilganlarga asosan bu umimiy integral, (1) tenglamning ham umumiy integrali bo’ladi.

Demak (1) differensial tenglam (3) ko’rinishdagi oraliq integraliga ega bo’lsa, uni integrallash masalasi n-chi tartibli differensial tenglamaning integrallash masalasiga keltiriladi.

3- Misol. 4yʹ+yʹ²= 4xyʹʹ

yʹ=z, yʹʹ= zʹ 4z+z²=4xzʹ

= + =4 =

₁x= z=c₁xz+4c₁x z= yʹ=

=4 dx+c₂=4