Oddiy differensial tenglamalar “ fanidan kurs ishi mavzu: “Tartibi kamayadigan differensial tenglamalar. Oraliq integrallar.”

Misollar.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13.

14. 15.

16. 17.

18. 19.

20.

Xulosa :

Ushbu kurs ishida tartibi kamayadigan differensial tenglamalar , oraliq integrallar va ularni yechish usullari haqida ma’lumotlar keltirilgan.

n- tartibli differensial tenglamani simvolik ravishda

F( x, y, yʹ, … , y^(n-1), y⁽ⁿ⁾ )= 0 (1)

ko’rinishida yoki bu tenglamani n- tartibli hosilaga nisbatan yechib bo’lsa,

y⁽ⁿ⁾= f( x, y, yʹ, … ,y⁽ⁿ⁾ ) (2)

ko’rinishda yozish mumkin.

n- tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi x ga va n- ta ixtiyoriy o’zgarmaslarga bog’liq bo’ladi : y= g( x, c₁, c₂, .. ,c_n ).

Shu sababli umumiy yechimdan xususiy yechimni ajratib olish uchun ixtiyoriy o’zgarnaslarni aniqlashga imkon beradigan ba’zi qo’shimcha shartlar ham berilgan bo’lishi kerak, Bu shartlarni izlanayotgan funksiyaning va uning (n-1)- tartibgacha ( y ham kiradi ) barcha hosilalarning biror nuqtadagi qiymatlarini , ya’ni x=x₀ da

y(x₀)= y₀, yʹ(x₀)= y₁, … , y^(n-1) (x₀)= y_n-1 (3)

berish bilan hosil qilish mumkin. (3) sistema boshlang’ich shartlar sistemasi deyiladi. Berilgan (2) differensial tenglamaning (3) boshlang’ich shartlar sistemasini qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toppish masalasi Koshi masalasi deyiladi.

Bu yerda x, y₀, y₀, … ,y₀^(n-1) berilgan sonlar. Ko’p hollarda, (1) tenglamani integrallash vaqtida

Ф (x, y₀, y₀, … ,y₀^(n-k), c₁, c₂, … ,c_k )= 0

shakldagi tenglik hosil bo’lishi mumkin. Bu tenglama berilgan tenglamaning k- tartibli oraliq integrali deyiladi.

Yuqori tartibli differensial tenglamalarni integrallash masalasi birinchi tartibli tenglamani integrallash masalasidan ancha qiyin bo’lib, har doim ham birinchi tartibli tenglamani integrallashga keltiraverilmaydi. Shunday bo’lsada chiziqli tenglamalardan tashqari barcha turdagi yuqori tartibli tenglamalar uchun integrallashning asosiy usuli tartibni pasaytirish, ya’ni berilgan tenglamani unda o’zgaruvchilarni almashtirish orqali tartibi pastroq tenglamaga keltirish bo’lib hisoblanadi. Biroq tenglamaning tartibini pasaytirishga har doim ham erishish mumkin emas. Biz bu yerda tenglama tartibini pasaytirishga imkon beradigan n-tartibli tenglamalarning eng soda turlarini keltirib o’tamiz.

1.Ushbu y⁽ⁿ⁾=f(x) (4)

tenglamaning tartibini pasaytirish, ketma-ket integrallash yo’li bilan amalga oshiriladi :

y^(n-1)= f(x)dx+C₁ ;

y^(n-2)= ( f(x)dx+C₁)dx+C₂= dx f(x)dx+C₁x+C₂ ;

…………………………………………………..

y= dx dx… f(x)dx+C₁ +C₂ + … +C_n ;

2.Izlanayotgan y funksiya va uning y', y'' , … , hosilalari oshkor holda ishtirok etmagan

F (x, y^(k), y^(k-1), … ,y⁽ⁿ⁾ )= 0 (5)

differensial tenglamaning tartibi

y^(k)= z, y^(k+1)= z', … , y⁽ⁿ⁾= z^(n-k)

almashtirishlar yordamida k birlikka pasaytiriladi :

F( x, z, z', … ,z^(n-k) )= 0.

3. Erkli x o’zgaruvchi oshkor holda ishtirok etmagan

F( y, yʹ, … ,y⁽ⁿ⁾ )= 0 (6) tenglamaning tartibi

y'= p , y''= p ,

y'''= p=

almashtirishlar orqali bir birlikka pasaytiriladi.

4. F(x, y, y',y'', … ,y⁽ⁿ⁾) funksiysa y, yʹ, … ,y⁽ⁿ⁾ larga nisbatan bir jinsli bo’lgan F(x, y, y',y'', … ,y⁽ⁿ⁾) =0 (7)

tenglamaning tartibi y= almashtirish orqali bittaga kamaytiriladi.

5. Tenglamaning chap tomoni aniq hosila bo’lgan hol. Bu holda tenglama tartibi bir birlikda pasaytirish bevosita integrallash yo’li bilan amalga oshiriladi.