Общее определение оператора

Теорема 2. А чегараланган бўлиши учун
||Аx|| ≤ с ||x|| (2.1.2)
тенгсизлик ихтиёрий x  X, ва с – ўзгармас учун ўринли бўлиш керак.
Теорема 3. Айтайлик А: X → Y, А – чизиқли оператор, X, Y – банах фазолар пространства. А оператор узлуксиз бўлиши учун унинг чегараланган бўлиши зарур ва етарли.

2.1.2. ЧИЗИҚЛИ ОПЕРАТОР НОРМАСИ

Узлуксиз чизиқли операторларни чизиқли фазодаги нормасини қуйидагича киритамиз:
. (1)
Нима учун чекли ||А|| сон мавжудлигини, (1) тенглик билан аниқланган ихтиёрий чегараланган оператор учун.. А –чегараланган бўлганлиги учун,

тўплам юқоридан чегараланган бўлади. Юқори чегара хақидаги теоремага асосан мавжуд.
sup Mнинг хоссаларидан ||Аx|| ≤ ||А|| келиб чиқади ихтиерий x  S₁(0) учун. Бундан
||Аx|| ≤ ||А|| ||x||, (2)
хамма x  X ўринли, x = 0 учун хам. Шундай қилиб, ||Аx|| ≤ ||А|| тенгсизликдаги ||А|| энг кичик ўзгармас бўлади, ва, демак, (2) бахолаш энг яхшиси бўлади.
Нормалланган узлуксиз чизиқли операторлар фазосини Х дан Y га амал қилаётганини L(X, Y) деб белгилаймиз.

2.1.3. ТЕСКАРИ ОПЕРАТОР

Чизиқли алгебраик тенгламалар системаси, интеграл тенгламалар, шунингдек оддий дифференциал тенгламалар ва хусусий хосилали тенгламалар учун хар хил масалалар

чизиқли тенглама кўринишида ёзиш мумкин.
Агар тескари оператор мавжуд бўлса, унинг ечими аниқ кўринишда ёзилади:

Энди тескари оператор мавжуд бўлиши учун зарур бўлган шартларни аниқлаш масаласи мухим ахамиятга эга.
Айтайлик А: X → Y чизиқли оператор бўлсин, бу ерда X,Y – чизиқли фазолар, D(A) X аниқланиш сохаси, R(A) Y қийматлар сохаси.
тўпламни киритамиз - А операторнинг ноллар тўплами. N(A) бўш эмас чунки 0  N(A).