Общее определение оператора

II БОБ. УМУМИЙ ХОЛДАГИ ОПЕРАТОРЛИ ТЕНГЛАМАЛАР

2.1.ЧИЗИҚЛИ ОПЕРАТОР

2.1.1.ЧИЗИҚЛИ ОПЕРАТОР ТАЪРИФИ

X ва Y – чизиқли фазо бўлсин, иккаласи хақиқий ёки иккаласи комплекс.
Аниқланиш сохаси D(А) А: X → Y оператор чизиқли дейилади, агар
А(λ₁x₁ + λ₂x₂) = λ₁А(x₁) + λ₂А(x₂)
ихтиёрий x₁,x₂  D ва ихтиёрий λ₁ и λ₂ скалярлар учун ўринли бўлса.
Айтайлик X ва Y – нормалланган фазо бўлсин ва А: X → Y, бу ерда А – чизиқли оператор, X хамма жойида(яъни. D(А) = X).
А Оператор x₀  X нуқтада узлуксиз дейилади, агар Аx → Аx₀, x → x₀. Лекин чизиқли операторнинг хар хил x₀  X нуқталардаги узлуксизлигини унинг Х фазонинг нолидаги узлуксизлиги қараб мулохаза қилиш мумкин.
Теорема 1. Айитайлик А чизиқли оператор X Банах фазосининг хамма ерида берилган ва Y банах фазосидаги қийматлари билан 0  X да узлуксиз;у холда А ихтиёрий x₀  X узлуксиз..
И с б от. Аx – Аx₀ = А (x – x₀) тенгликни кўрайлик. Агар x → x₀, унда z = x – x₀ → 0. Нолда узлуксизлигидан Аz → 0, лекин унда Аx – Аx₀ → 0, исботлаш талаб қилинган эди.
А чизиқли оператор узлуксиз дейилади, агар у x = 0 нуқтада узлуксиз бўлса.
Айтайлик S₁(0) – ёпиқ шар ||x|| ≤ 1 Х банах фазосида.
Агар оператор А: X → Y S₁(0) бирлик шартда чегараланган бўлса, оператор чегараланган дейилади, агар у, яъни
{ ||Аx||, ||x|| ≤ 1}.
тўплам чегараланган бўлса.
Таърифга асосан, агар А чегараланган бўлса, унда шундай с > 0 ўзгармас мавжудки, ихтиёрий x с ||x|| ≤ 1 тенгнсизлик ўринли
||Аx|| ≤ с (2.1.1)