Общее определение оператора

МИСОЛЛАР.
ечимни топинг.

Бошланғич шарт .
Ечиш. Бошланғич шартга асосан эга бўламиз, демак,

Бу ерда

бундан


Дифференциал тенгламани ечими топилсин.

Бошланғич шартлар
,
ЕЧИШ. Бу холда демак,

бундан
.
Тенгламадан топилсин.

Бошланғич шартлар
,
ЕЧИШ. Тенгламани қуйидагича ёзиб оламиз

Бошланғич шартларни ва хисобга олиб

бундан

Дифференциал тенгламалар системасини ечинг.

Бошланғич шартлар
,
ЕЧИШ. Операторли формага ўтсак

Алгебраик тенгламалар системасини ечишни оддий усулларини қўлласак
,
демак

13-машқ.Қуйидаги тенгламаларни берилган бошланғич шартларда ечинг:
1)
2)
Қуйидаги тенгламаларсистемасини берилган бошланғич шартларда ечинг
1) .
2)

1.2. ТОРНИНГ ТЕБРАНИШИ

1.2.1. ТЕБРАНАЁТГАН ТОРНИНГ ОПЕРАТОР ТЕНГЛАМАСИ
Фараз қилайлик, узунлигидаги тор ўқи бўйича о ва нуқталар орасида тортилган. функция, торининг абциссали нуқтасини t моментдаги ўзгаришини ифодалайди ва қуйидаги тенгламани қаноатлантиради
( 1.2.1)
Бу ерда , Р- торнинг таранглиги, ва –чизиқли зичлик, яъни узунлик бирлигининг массаси. Бу тенгламани келтириб чиқаришда торни абсолют эгилувчан, тебраниши жуда кичик, бу эса Р га сезиларли таъсир қилмайди ва у ўзгармас деб олинади.
Фараз килайлик, t=0 моментда тор ўқи билан устма-уст тушади ва заррачаларни тезлиги нолга тенг. Бу қуйидаги шартларга тўғри келади
(1.2.2)
Фараз қилайлик торнинг боши ўқига перпендикуляр харакатланаяпти ва унинг тезлиги тезлиги билан берилган. Бундан ташқари, торнинг охирги нуқтаси қатирилган. Бу қуйидаги шартларга тўғри келади:
(1.2.3)
Торнинг қолган заррачаларини харакатини топамиз ва бу харакат берилган шартлар билан ьир қийматли аниқланганлигини кўрсатамиз. Математик тилда гапирганда (1.2.1) хусусий хосилали тенгламани берилган (1.2.2) ва (1.2.3) шартларда ечамиз ва бу ечим ягона эканлигини кўрсатамиз (1.2.2), фаразимизга асосан,

(бу ерда ) (1.2.1) тенгламанинг оператор формаси. (1.2.2) шартлар тенгламани ичида ётади, (1.2.3) шартлар эса қуйидаги кқринишга эга
бу ерда
Аввал тенгламани қаноатлантирувчи кўрсаткичли функцияларни топамиз, яъни қуйидагича

Дифференциаллагандан сўнг

га бўлиб,

Бундан ёки Шундай қилиб, тенгламани қаноатлантирувчи фақат иккита кўрсаткичли ва функциялар мавжуд. Кўриниб турибдики, ихтиёрий операторли функция
(1.2.4)
ва - ихтиёрий операторлар, тенгламани қаноатлантиради. Бу операторларни шундай танлаймизки шартлар бажарилсин, яъни

(1.2.5)
Бу тенгламалар системасини ечсак

Бундан қидирилаётган ечим келиб чиқади:
(1.2.6)
Силжиш операторини хоссаларини билиб ечимни классик анализ символлари ёрдамида ёзиш мумкин эди. Лекин бу йўл билан олинадиган формулалар и мураккаб бўлганлиги учун ўрганишда соддароқ операторли ечимдан фойдаланган қулайроқ.
Масалан (1.2.6) ечим бўлганда
(1.2.7)
бўлади.
нинг ўрнига хар хил қийматлар бериб торнинг заррачаларининг харакатини алохида тахлил қилиш мумкин.Масалан, =2 да ечим

бўлади.
( ) оператор учун графигини чизиш мумкин.
Хусусий хосилали тенгламалар назариясига асосан (1.2.1) тенглама гиперболик типга тегишли.
Шунинг учун операторли функцияларни, шу тенгламага боғлиқ бўлганлиги учун гиперболик кўрстакичли функция дейилади .