Общее определение оператора

Теорема 8. Айтайлик ва ; унда оператор I – C узлуксиз тескарланувчи бўлади.Бунда бахолашлар ўринли
(1)
(2)
Исбот. L(X) қаторни қарайлик
I+C+C²+C³+… (3)
бўлганлаги учун, (3) қатор яқинлашувчи сонли қатор геометрик прогрессия бахоланади

Вейерштрасс теоремасига асосан (3) қатор текис яқинлашяпти, яъни
.
S – қаторнинг суммасисумма ряда (3). Энди содда текешириш билан ишонч хосил қиламиз
,
.
Лекин бунда (ибо и ), а . Шунинг учун лимитда тенгликларга эга бўламиз (I – C)S = I ва S(I – C) = I.
1 леммага асосан I – C узлуксиз тескариланувчи ва S=(I – C)^-1. Шундай қилиб,
,
.
Тенгсизликларда лимитга ўтиб, (1) ва (2) бахолашди. Теорема исботланди.
Энди L(X,Y) фазонинг умумийроқ холини қараймиз. Айтайлик А  L(X,Y) узлуксиз тескарланувчи.
Теорема 9. Айтайлик A, B  L(X,Y), А узлуксиз тескарланувчи ва во тенгсизлик ўринли. Унда узлуксиз тескариланувчи ва қуйидаги бахолашлар ўринли
,

2.1.4. АБСТРАКТ ФУНКЦИЯЛАР

Айтайлик S – сонли ўқидаги ёки комплекс текислигидаги кандайдир тўплам, ва X – нормалланган фазо.
S аниқланиш сохаси ва Х қийматлар сохаси бўлган x( ) функцияни қараймиз . Бундай функцияларни сонли ўзгарувчини абстракт функциялари ёки сонли ўзгарувчини вектор функциялари, чунки чизиқли фазо элементларини векторлар деймиз. Сонли ўзгарувчили абстракт функцияга математик анализнинг кўп тушунчалари ва фактлари ўтказилади. Кейинроқ, бундай функцияларни лимити ва узликсизлиги, даражали қаторга ёйилиши ва аналитик абстракт функция тушунчаси кўрилади.
Айтайлик x( ) ₀ нуқта атрофида аниқланган ўзидан ташқари бўлиши мумкин . а  X элементни → ₀ бўлганда x( ) функция лимити дейилади ва қуйидагича ёзилади
, → ₀,
агар , → ₀.
Даражали қаторлар – бу нормаланган фазода қаторларнинг махсус холи, параметрига боғлик бўлганда.
Х нормаланган фазода , кўринишдаги қаторни қараймиз, бу ерда x_к  X, ва – ҳақиқий ёки комплекс ўзгарувчи. Энди – ₀ = қўринишдаги янги ўзгарувчини киритиш мумкин бўлганлик учун, кейинчалик ₀ = 0 деб оламиз ва
(1)
Кўринишдаги даражали қаторларни қараймиз.
чекли йиғинди (1) даражали қаторнинг кисмин йиғиндиси дейилади.
Айтайлик – нукталарнинг тўплами, улар учун (1) қатор яқинлашувчи бўлади. (1) қаторнинг яқинлашиш соҳаси дейлади.
(1) қаторнинг йиғиндисини  бўлганда S( ) деб белгилаймиз (бу абстракт функция, да аниқланган ва Х да киматларга эга), энди шундай ёзамиз
,  .
Охирги тенглик S_n( ) → S( ) бўлганда n→∞ ҳамма  .
(1) даражали қаторнинг якинлашиш соҳаси бўш эмас, чунки 0  . Скаляр функциялар холига ўхшаб қуйидаги теорема ўринли.