Общее определение оператора

Теорема 10 (Абель). Айтайлик ₀ ≠ 0 и ₀  , унда доира га тегишли. Иҳтиёрий S_r(0 )доирада, r < , (1) қатор нисбатан абсолют ва текис яқинлашувчи.
Теорема 11. Айтайлик иккита даражали қатор S_R(0), R>0 доирада ўзаро тенг :
;
Унда буларнинг коэффициентлари тенг: (k=0, 1, 2, …)


Айтайлик функция λ сонли ўзгарувчининг Х банаҳ фазасидаги кийматлари λ₀ нуқта атрофида аниқланган.
x(λ) функциянинг x’(λ₀) ҳосиласи таърифига асосан λ₀ нуқтадаги лимитига айтилади
,
Агар бу лимит мавжуд (чеқли) бўлса. Агар функция λ₀ нуқтада ҳосилага эга бўлса у шу нуқтада дифференциалланувчи бўлади.

2.1.5. АНАЛИТИК АБСТРАКТ ФУНКЦИЯЛАР ВА ТЕЙЛОР ҚАТОРЛАРИ

x( ) абстрак функцияни =0 бўлганда аналитик дейилади, агар у =0 нуқтанинг атрофида :
(1)
Яқинлашувчи даражали қатор билан ифодаланиши мумкин, яқинлашиш радиуси нол эмас.
Теорема 12. Агар x( ) – аналитик абстракт функция бўлса =0 да,унда x( ) S_R(0) доирада узликсиз,бу ерда R – (1)даражали ёйилмани радиуси.
Теорема 13. Агар x( ) – аналитик абстракт функция бўлса = 0 да, унда x( ) S_R(0) яқинлашиш доирасида дифференциалланувчи.
Айтайлик x( ) 0 нуктада чексиз дифференциалланувчи.

Кўринишдаги қатор Тейлор қатори дейилади.
Агар x( ), =0 аналитик бўлса, унда унинг Тейлор қатори 10 теоремага асосан унинг даражаси бўлади ва демақ S_R(0) да унга якинлашади.
Абстракт аналитик функция тушунчаси кичик параметр методида кенг қўлланилади.

2.2. ОПЕРАТОРЛИ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШ УСУЛЛАРИ

2.2.1. ЭНГ СОДДА ҲОЛДАГИ КИЧИК ПАРАМЕТР УСУЛИ
Қуйидаги тенгламани караймиз:
Аx – Сx=y. (1)
Бу ерда А, С  L(X,Y) и y  Y берилган, - скаляр параметр, ,
ва ноъмалум x эса X да изланади. Агар , яъни


, (2)
унда, 9-теоремага асосан, оператор А– С узлуксиз тескариланувчи, ва (1) тенгламанинг ечими мавжуд, ягона ва аниқ формула ёрдамида берилади
. (3)
Бундан кўриниб турибдики, (2) доирада ечим параметрнинг аналитик функцияси бўлади ва қуйидаги кўринишда топилиши мумкин
(4)
(1) тенглама учун кичик параметр усули шу ғояга асосланган. (4) қаторни (1) тенгламага қуйиб ва даражали қатор ёйилмасини ягоналиги теоремасига асосан нинг бир хил даражалари олдидаги коэффициентларини тенглаб:
.
Шундай қилиб,биз қуйидаги реккурент тенгламалар системасига келамиз, x₀, x₁, …:ларни аниқлаш учун
Аx₀=y, Аx₁=Сx₀, …, Аx_к=Сx_к-1, …
А узлуксизтескарланувчи, бундан кетма-кет топамиз
x₀=А^–1y, x₁= А^–1(СА^–1)y, …, x_к= А^–1(СА^–1)^кy, …
Демак,
. (5)
Биз даражали қаторга ёйилган (3) хосил қилдик.Агар биз даражали қаторни узиб тақрибий ечим билан чегаралансак

Унда хатоликни бахолаш мумкин. (5) қатордан унинг (6) кисм йиғиндисини айириб ва айирмани норма бўйича бахолаб
.

2.2.2. ЭНГ СОДДА ҲОЛДАГИ КИЧИК ПАРАМЕТР УСУЛИ

Қуйидаги тенглама берилган
А( )х = у( ). (1)
Бу ерда А( ) L(X,Y) х хар бир қийматида, , ёки,, А( ) – оператор-функция дейилади. Айтайлик А( ), =0 аналитик, ва оператор А(0) оператор узлуксиз тескариланувчи, у( ) – берилган аналитик функция, =0 да қийматлари Y га тегишли. Ноъмалум x, Х да изланади.
А( ) ва у( ) ни 0 нуқтадаги аналитиклиги,уларни қуйидаги яқинлашиш радиуси нол бўлмаган даражали қаторларга ёйилади,радиуслари мос равишда ва тенг:
, . (2)
А( ) аналитиклигидан А( ) ни =0 да узулуксизлиги келиб чиқади, демак шундай r > 0 сон борки доирада
.
Бундан доирада оператор-функция А( ) узлуксиз тескариланувчилиги келиб чиқади демак (1) тенглама ягона ечимга эга
,
Бунда x( ) аналитик =0 нуқтада ва мос даражали қаторнинг яқинлашиш радиуси min( , r) тенг. x( ) ни қуриш учун кичик параметр усулидан фойдаланиш қулай. x( ) ни қуйидаги кўринишда излаймиз
. (3)
(3) қаторни (1) тенгламага қўйиб ва (2) ейилмани хисобга олиб қуйидаги x₀, x₁, x₂, …ноъмалум коэффициентлар системасига келамиз :
А₀x₀ = y₀, А₀x₁+А₁x₀ = y₁,
А₀x₂ + А₁x₁ + А₂x₀ = y₂, (4)
. . . . . . . . . . .
, …
Бу ерда А₀ = А(0) узлуксиз тескариланувчи. Хосил бўлган системани тенгламаларини кетма-кет ечсак
, , … (5)
Хосил бўлаётган формулалар жуда катта, лекин шу йўл билан тенгламанинг ечимини ихтиёрий даражадаги аниқликда топиш мумкин. Кичик параметр усули А(0) операторнинг тескариланиши осон масала бўлганда А( ) қараганда, бу усул жуда қулай.
2.2.3. ПАРАМЕТР БЎЙИЧА ДАВОМ ЭТТИРИШ


Энди яъна бир татбиқ сифатида параметр бўйича давом эттириш методини кўрамиз. Айтайлик ва А тескариланувчи. Агар , теорема 9.3га асосан, В хам узлуксиз тескариланувчи. Айрим холларда, агар В тескари алмашинувчи бўлади, хатто А дан узоқ бўлса хам. [0, 1] кесмада ўринли бўлган оператор – функция, ва А(0)=А, А(1)=В. Бошқача айтганда L(X, Y) узлуксиз эгри чизиқ деб тушунилади, у А ва В нуқталарни туташтиради .Фараз қилайлик оператор –функция учун қуйидаги шартлар бажарилсин :

1. 
   ўзгармас мавжудки, ихтиёрий ва ихтиёрий учун
   

. (1)
тенгсизлик ўринли.
Қуйидаги теоремани исботлаймиз.