|
3.
Кesishuvchi tekisliklarda joylashgan juftlarni qo’shish
Teorema:
Ikkita
kesishuvchi
tekisliklarda
joylashgan
juftlar
yolg’iz
juftga
ekvivalent
bo’lib,
uning
momenti
berilgan
juftlar momentlarining geometrik yig’indisiga teng.
Isbot:
Momentlari tegishli
1
m
va
2
m
bo’lgan kesishuvchi tekisliklarda joylashgan 2 ta
'
1
1
,
F
F
va
'
2
2
,
F
F
juftlarni olamiz (79-shakl). Tekisliklar kesishish chizig’i AB
kesmani umumiy yelka qilib tanlab olamiz. Berilgan juftlar momentlarini
o’zgartirmay umumiy AB yelkaga keltiramiz.
92
79-shakl
Moment vektorlari berilgan juftlarning moment vektorlariga teng bo’lgan yangi
ikkita
'
1
1
,
Q
Q
va
'
2
2
,
Q
Q
juftlarni hosil qilamiz, ya’ni
2
'
2
2
1
'
1
1
,
;
,
m
Q
Q
m
m
Q
Q
m
1
m
va
2
m
vektorlarni B nuqtaga qo’yamiz. A va B nuqtalarga qo’yilgan
kuchlarni parallelogramm qoidasiga asosan qo’shamiz. Ikkita
R
va
'
R
kuchlarni hosil qilamiz ya’ni:
'
2
'
1
'
2
1
,
Q
Q
R
Q
Q
R
Agar
R
=
'
R
bo’lsa u holda (
R
,
'
R
) sistema juft kuchni hosil qilib ekvivalent
deb ataladi. Ikkita kesishuvchi tekisliklarda joylashgan juftlar sistemasi yolg’iz
juftga ekvivalent bo’lar ekan shu juftning moment vektorini aniqlaymiz, (6.10)
formulasiga asosan quyidagilarga ega bo’lamiz:
R
B
A
R
R
m
'
,
2
1
2
1
2
1
)
(
,
Q
AB
Q
AB
Q
Q
AB
m
Q
Q
R
yoki
'
2
2
'
1
1
,
,
Q
Q
m
Q
Q
m
m
natijada
2
1
m
m
m
ekanligi isbotlandi. Shunday qilib
m
moment vektorni
miqdor va yo’nalishi
m
1
va
m
2
momentlar vektorlarining ustiga qurilgan
parallelogramm diagonali orqali aniqlanadi. Umumiy, holda fazoda ixtiyoriy
joylashgan juft kuchlarni qo’shish natijasida hosil bo’lgan ekvivalent juft
kuchlarning momenti berilgan juft kuchlar momentlarining geometrik yig’indisiga
1
F
A
B
1
Q
2
P
1
P
1
Q
2
Q
2
Q
R
R
2
m
1
m
m
1
m
1
F
2
F
2
F
2
m
93
teng, ya’ni:
n
k
k
m
m
1
(6.11)
Agar ekvivalent juftning momenti nolga teng bo’lsa, u holda juftlar o’zaro
muvozanatlashadi:
0
1
n
k
k
m
(6.12)
Shunday qilib fazoda ixtiyoriy joylashgan juft kuchlar muvozanatlarini
quyidagicha ifodalash mumkin:
fazoda ixtiyoriy joylashgan juftlar sistemasi
o’zaro muvozanatda bo’lishi uchun ular momentlarining geometrik
yig’indisi nolga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.
24-§. Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasini
berilgan bir markazga keltirish
Bosh vektor va bosh moment
Qattiq jismning biror A nuqtasiga
F
kuchi qo’yilgan (80-shakl) kuchni
o’ziga parallel ko’chirish haqidagi teoremaga asosan A nuqtaga qo’yilgan
F
kuchni O nuqtaga qo’yilgan shunday
'
F
kuch va momenti
m
berilgan
F
kuchidan O nuqtaga nisbatan olingan kuch momentiga teng bo’lgan (
''
,
'
F
F
)
juft kuch bilan almashtirish mumkin.
Juftning
m
moment vektori OAK tekislikka perpendikulyar bo’ladi. Shuning
uchun quyidagicha yozish mumkin.
F
=
'
F
va juft (
F
,
F
") kuchni berilgan
markazga keltirish chog’ida hosil bo’lgan qo’shilgan (
F
,
''
F
) juftni shaklda
ko’rsatmay uning m momenti vektorini tasvirlash kifoya. Bu natijadan foydalanib
ixtiyoriy joylashgan va qattiq jismning A
1
, A
2
, A
3
nuqtalariga qo’yilgan uchta
F
1
,
F
2
,
F
3
kuchlarni berilgan markazga keltiramiz (81-shakl). Buning uchun,
hamma kuchlarni O nuqtaga keltirib qo’shilgan juftlarni olamiz. Natijada O
markazga qo’yilgan
F
1
,
F
2
,
F
3
kuchlar sistemasi va momentlari
m
1
,
m
2
,
m
3
bo’lgan qo’shilgan juft kuchlar sistemasini olamiz. Ma’lumki
)
(
),
(
),
(
3
0
3
2
0
2
1
0
1
F
m
m
F
m
m
F
m
m
94
O nuqta qo’yilgan
F
1
',
F
2
',
F
3
' kuchlarni qo’shib ularning geometrik
yig’indisiga teng bo’lgan
R
ni olamiz ya’ni
3
2
1
F
F
F
R
agar
3
3
2
2
1
1
,
,
F
F
F
F
F
F
bo’lsa, u holda
3
2
1
F
F
F
R
kuchlarning geometrik yig’indisi bosh vektor deyiladi. Qo’shilgan juftlarni yig’ib
teng ta’sir etuvchi juftni hosil qilamiz uning momenti qo’shilgan juft
momentlarining geometrik yig’indisiga teng bo’ladi. Ya’ni
3
2
1
0
m
m
m
M
agar
)
(
),
(
),
(
3
0
3
2
0
2
1
0
1
F
m
m
F
m
m
F
m
m
bo’lsa,
u holda
)
(
)
(
)
(
3
0
2
0
1
0
0
F
m
F
m
F
m
M
0
M
-vektor berilgan kuchlardan O keltirish markaziga nisbatan olingan kuch
momentlarining geometrik yig’indisiga teng bo’lib, kuchlar sistemasining keltirish
markaziga nisbatan olingan bosh momenti deyiladi.
A
O
''
F
'
F
F
K
m
80-shakl
95
81-shakl
Olingan natijadan fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasi uchun tatbiq qilib
quyidagilarga ega bo’lamiz.
n
k
k
n
k
k
F
m
M
F
R
1
0
0
1
)
(
;
(6.13)
Shunday qilib fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasini berilgan
kuchlarning geometrik yig’indisiga teng bo’lgan va keltirish markaziga
qo’yilgan yolg’iz kuch va momenti berilgan kuchlardan keltirish markaziga
nisbatan olingan kuch momentlarining geometrik yig’indisiga teng bo’lgan
qandaydir (Q
1
, Q
2
) juft bilan almashtirish mumkin
(82-shakl) shuni ta’kidlab
o’tamizki, bosh vektor keltirish markaziga bog’liq bo’lmaydi, lekin bosh moment
esa keltirish markazining tanlab olinishiga bog’liq bo’lib, keltirish markazining
o’zgarishi bilan bosh moment ham o’zgarishi mumkin.
82-shakl
1
Q
0
M
R
0
2
Q
96
Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasi bosh vektori va bosh
momentini analitik aniqlash
To’g’ri burchakli koordinata sistemasining boshini keltirish markazi O da
olamiz, u holda bosh
R
vektorning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari
quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
n
k
kz
z
n
k
ky
y
n
k
kx
x
F
R
F
R
F
R
1
1
1
(6.14)
bo’ladi. Bosh vektorning moduli quyidagicha
2
2
2
z
y
x
R
R
R
R
(6.15)
Bosh vektor
R
ning yo’nalishi, yo’naltiruvchi kosinuslari
R
R
oz
R
R
R
oy
R
R
R
ox
R
z
y
x
)
,
cos(
;
)
,
cos(
;
)
,
cos(
(6.16)
Bosh moment M
o
ning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalarini quyidagi
formulalar yordamida aniqlanadi:
n
k
k
z
o z
n
k
k
y
o y
n
k
k
x
o x
F
m
M
F
m
M
F
m
M
1
1
1
)
(
)
(
)
(
(6.17)
formula yordamida aniqlanuvchi M
ox
, M
0y
, M
oz
miqdorlar koordinata o’qlariga
nisbatan bosh momentlar deyiladi. Qandaydir koordinata o’qiga nisbatan
sistema kuchlarining bosh momenti berilgan kuchlardan shu o’qqa nisbatan
olingan momentlar algebraik yig’indisiga teng ekanligi (6.17) formuladan yaqqol
ko’rinadi. Bosh momentning miqdor va yo’nalishi quyidagi formulalar yordamida
97
aniqlanadi:
2
2
2
0
oz
oy
ox
M
M
M
M
(6.18)
0
0
0
0
0
^
0
0
0
^
0
)
,
cos(
;
)
,
cos(
;
)
,
cos(
M
M
oz
M
M
M
oy
M
M
M
ox
M
z
y
x
(6.19)
Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasini bir markazga
keltirilganda, bosh vektor bilan bosh moment orasidagi burchak ta’sir qilayotgan
kuchlarga bog’liq bo’lib, ixtiyoriy bo’lishi, bu burchakni aniqlash vektorlar skalyar
ko’paytmasining ifodasidan
)
,
cos(
0
^
0
0
M
R
RM
M
R
Bundan
0
0
0
0
^
)
,
cos(
M
R
M
R
M
R
M
R
M
R
M
R
M
R
o z
z
o y
y
o x
x
(6.20)
Agar
0
M
R
bo’lsa, u holda
0
)
,
cos(
^
M
R
va
0
oz
z
oy
y
ox
x
M
R
M
R
M
R
(6.21)
munosabat (6.21) bosh vektor bilan bosh moment o’zaro perpendikulyarlik
alomatidir.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
