Nazariy fizika kursi

Sq
u c h u n
SS = 0
b o ‘lishi kerak. Integral
ostidagi ifodaning birinchisiga 
Sq
kirgan, trayektoriyaning variatsiyasi ni 
vaqt bo 'y ich a hosiladan chiqarib olish u c h u n shu had b o ‘lak!ab integral- 
la n a d i (bu a m a ln i b a ja rg a n d a v a ria tsio n hiso b d a isbot q ilin a d ig a n
5 ~-q = ^-Sq
m u n o s a b a t d a n foydalandik): 
dt 
dt
[ d t — S q =  f dt — S — = \ d t
J 
d q  
J 
d q
d t  
J
dq
!
N a tija d a
dL d
dq dl
'h
d q = J dt
dL r-
--T7dq
dq
-Sq
d_ d L
d t dq
(1.9)
S S  — —~~Sq
dq
4>
+ J
d t S q
dL 
d dL
dq 
d t dq
= 0
(
1
.
10
)
m u n o sab atg a kelam iz. B irinchi h a d (1.7) shart natijasida nolga tengdir, 
ikkinchi h a d ixtiyoriy 
S q  
u c h u n nolga teng b o ‘lishi u c h u n
dL 
d dL _
d q
d t d q
(1.11)
13

---

te n g l a m a bajarilishi kerak. O lin g a n te n g la m a
E y le r—L a g ra n j
t e n g l a ­
m asi deyiladi. Bu te h g la m a g a j i s m n i n g k o o rd in a ta si 
q,
tezligi 
q
va
tezlanishi 
q
kirgan. D e m a k , E y ler—Lagranj tenglam asi h arak at te n g la ­
m asi ekan.
S iste m a n in g erkinlik darajalari soni 
s
ta b o 'ig a n holga o 'tilsa olingan 
t e n g l a m a l a r sistemasi
dL 
d dL
„
а Г # а Г * ' 
..... '

k o 'rin is h g a keladi. Y a ’ni, h a r b ir erkinlik darajasiga b itta E y ler—Lagranj 
te n g la m a si t o 'g 'r i keladi. B u te n g la m a la r sistemasi 5 ta ikkinchi tartibli 
differensial te n g la m a la r sistem asini tashkil qiladi. U la rn i yechish u c h u n
2s
ta b o s h l a n g 'ic h sh artlar berilgan bo'lishi kerak. Bu b o s h la n g 'ic h
s h a r tl a r s is te m a n in g b o s h l a n g 'i c h holati 
q,{0) = ql0
va b o s h l a n g 'i c h
tezliklari 
я Щ - q
d j r
? 
a)
D e k a r t siste m asid a {r/,} = {/;} E y le r—L agranj t e n g l a m a l a r i n in g
ko'rinishi:
d 6L 
dL
л а Г * -

1.2.1-misol. Quyidagi Lagranj funksiyasi uchun harakat tenglamasini 
toping 
(к
- o'zgarmas son):
. 
2
= 
(1.14)
Kerakii hosilalarni topaylik:
Э L 
, 
dL
H arakat te nglam asi:
q + k =  0. 
(1.16)
1.2.2-misol. 
Quyidagi Lagranj funksiyasi uchun harakat tenglamalarini 
toping 
(k
— o'zgarmas son):
111
/ . 7 
. 
1 \ , ,
*2
L ="~X(q{ + q i ) - k (q2 - q \ ) ■
 
(1.17)
14

---