8 – ma’ruza. Markaziy maydondagi harakat

8 – ma’ruza. Markaziy maydondagi harakat. Markaziy maydondagi harakat, harakatni tenglamalarini integrallash, grafik tahlil. Traektoriyalarni sinflarga ajratish. Markazga tushish muammosi. Kepler masalasi va uningqonunlarini izohlash.Markaziy maydondagi harakatni integrali

Moddiy nuqtalar sistemasining dinamik tenglamasini quyidagi ko‘rinishda umumlashtirilishi mumkin.

(1)
Bunda - tashqi kuchlarning, - esa ichki kuchlarning teng ta’sir etuvchisidir. Agar bu kuchlarni ixtiyoriy deb qaralsa (1) tenglamaning uch va undan ortiq moddiy nuqtalardan iborat sistemalar uchun aniq echimlari topilmagan. SHuning uchun ikkita moddiy nuqtadan iborat sistema uchun echimni topib va shu asosda xulosalar qilish ahamiyati kattadir. Bu echim birta moddiy nuqtaning dinamikasiga olib keladi. Ikki jism masalasining echimi, koinot mexanikasida (planetalar va ularning yo‘ldoshlarining Quyosh sistemasidagi harakati), statik fizikada (zarralar to‘qnashuvi) va boshqa sohalarda ishlatiladi.
O‘zaro ta’sirlashuvchi ikkita moddiy nuqtadan iborat berk sistema harakati haqidagi masala ikki jism masalasi deyiladi. Bunda o‘zaro ta’sirlashuvchi ikkita zarradan faqat ichki kuchlar ta’siridagi harakati o‘rganiladi. Ikki jism masalasi nazariy jihatdan umumiy echimga ega bo‘lib, amaliy jihatdan juda ko‘p qo‘llanishlarga ega. Uning echimlari yo‘ldoshlar harakati, zarrlarning to‘qnashuvi va sochilish nazariyalarida yotadi. Bu masalaning echimlarini qaraganimizda sistema harakatini uning inersiya markazining harakati va nuqtaning shu markazga nisbatan harakatiga e’tiborimizni qaratamiz.
O‘zaro ta’sirlashuvchi ikkita moddiy nuqtadan iborat sistemani ko‘ramiz. Biz bilamizki inersiya markazi to‘g‘ri chiziqli harakat qiladi. Nuqtalar massalari va , mos ravishda radius-vektorlari va . Ular orasidagi masofa vektori . Zarralar sistemasining inersiya markaziga yo‘nalgan vektor .
Agar koordinata boshini inersiya markaziga (massa markaziga) siljitsak massa momenti
bo‘ladi bo‘lganligi uchun
(2)
Bundan tashqari chizmadan umumiy holda
(3)
Yuqoridagi (2) va (3) formulalardan va larni faqat orqali ifodalarini topamiz.
(4)
SHuningdek (3) formuladan foydalanamiz.
(5)

Rasm. Ikki moddiy nuqtadan iborat sistema.

Endi harakatni ifodalovchi Lagranj funksiyasini uning additivlik xususiyatidan foydalanib dekart koordinatalar sistemasida yozamiz.

(6)
Potensial energiya zarralar orasidagi ta’sirdan iborat va ular orasidagi masofaga bog‘liqdir. YUqoridagi (3.9) va (3.10) ifodalarni (3.11) tenglamaga qo‘yamiz.



(7)
(8)

Lagranj funksiyasidagi keltirilgan massa deyiladi. Demak ikki jism masalasi keltirilgan massa yordamida birta moddiy nuqtaning masalasiga keltirildi. Erkin sistema uchun harakat tenglamasini yozish mumkin

(9)

Harakat tenglamasining echimlarida - keltirilgan massa, esa moddiy nuqtalar orasidagi masofa ekanligi inobatga olinadi. SHuning uchun (9) tenglama integrallangandan keyin haqiqiy va hamda radius-vektorlari va larga o‘tiladi.

_Ikkita nuqtadan iborat yopiq sistemaning energiyasi Lagranj funksiyasidan kelib chiqadi



_{Markaziy maydondagi harakat}
Markaziy maydonda sistemaning impuls momenti saqlanadi. Birta zarra uchun
. (1)
va vektorlar o‘zaro perpendikulyar bo‘lganligi uchun vektorning doimiyligi radius–vektorning har doim bir tekislikda qolishini anglatadi. SHuning uchun zarraning harakat traektoriyasi markaziy maydonda to‘laligicha bir tekislikda yotadi. Bunda Lagranj funksiyasining qutb koordinatalar sistemasidagi ko‘rinishidan foydalanish qulaydir.
(2)
Ma’lumki qutb koordinatalar sistemasi uchun quyidagini yozish mumkin.


Lagranj funksiyasida oshkora ko‘rinishda ishtirok etmaydi. Ixtiyoriy umumlashgan koordinatalar lagranj funksiyasida oshkora ko‘rinishda ishtirok etmasa ularni siklli koordinatalar deyiladi.

Siklli koordinata bo‘yicha umumlashgan impuls
(3)
Sektorial tezlikning aniqlanishidan ma’lumki impuls momenti bilan quyidagicha bog‘lanishga ega.

(4)
Demak bo‘yicha umumlashgan impuls bo‘yicha impuls momentiga teng ekan. Impuls momentining saqlanishi sektorial tezlikning doimiyligini talab qiladi. Harakatlanuvchi nuqtaning radius –vektori teng vaqtlarda teng yuzalarni o‘tadi.
(5)
Endi markaziy maydondagi zarraning harakatini to‘liq echimini energiya va impuls saqlanish qonunlaridan topish mumkin. To‘liq energiyani (5) formuladan foydalanib yozamiz.

(6)
(7)
(8)
YUqoridagi (5) formuladan buralish burchagi uchun ifoda keltirib chiqarish mumkin.
(9)
ning ifodasini (7) ifodasidan foydalanib buralish burchagini topish mumkin.
(10)