|
9.3. Tasodifiy nuqtaning tо‘g‘ri tо‘rtburchakka tushish ehtimolligi
X
va
Y
tasodifiy miqdorlar sistemasining taqsimot funksiyasidan
foydalanib, tasodifiy nuqtaning sinov natijasida
2
1
x
X
x
va
y
Y
yarim
polosaga (15-chizma) yoki
2
1
,
y
Y
y
x
X
(16-chizma) yarim polosaga tushish
ehtimolligini osongina topish mumkin.
15-chizma 16-chizma 17-chizma
Tasodifiy nuqtaning uchi
y
x
,
2
bо‘lgan kvadratga (14-chizma) tushish
ehtimolligidan nuqtaning uchi
y
x
,
1
bо‘lgan kvadratga tushish ehtimolligini
ayirib quyidagini hosil qilamiz.
y
Y
x
X
x
P
y
Y
x
X
P
y
Y
x
X
P
,
,
,
2
1
1
2
ekanligidan
y
Y
x
X
x
P
y
Y
x
X
P
y
Y
x
X
P
,
,
,
2
1
1
2
yoki
y
Y
x
X
x
P
y
x
F
y
x
F
,
,
,
2
1
1
2
yoki
y
x
F
y
x
F
y
Y
x
X
x
P
,
,
,
1
2
2
1
. (9.3)
Shunga о‘xshash,
1
2
2
1
,
,
,
y
x
F
y
x
F
y
Y
y
x
X
P
(9.4)
Endi tomonlari koordinata о‘qlariga parallel bо‘lgan
ABCD
tо‘g‘ri
tо‘rtburchakni qaraymiz (17-chizma).
Tomonlar tenglamasi
2
1
2
1
,
,
,
y
Y
y
Y
x
X
x
X
bо‘lsin.
Y
X
,
tasodifiy
nuqtaning bu tо‘g‘ri tо‘rtburchakka tushish ehtimolligini topamiz. Izlanayotgan
ehtimollikni topish uchun masalan, tasodifiy nuqtaning vertikal shtrixlangan
AB
64
polosaga tushish ehtimolligidan (9.3-formula) nuqtaning gorizontal shtrixlangan
DC
polosaga tushish ehtimolligini ayirish yetarli:
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
,
,
,
,
,
y
x
F
y
x
F
y
x
F
y
x
F
y
Y
y
x
X
x
P
yoki
1
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
,
,
,
,
,
y
x
F
y
x
F
y
x
F
y
x
F
y
Y
y
x
X
x
P
(9.5)
5-misol
.
X
va
Y
tasodifiy miqdor sistemasining taqsimot funksiyasi berilgan.
2
0
,
2
0
sin
sin
,
y
x
y
x
y
x
F
Y
X
,
tasodifiy nuqtaning
3
,
6
,
2
,
4
y
y
x
x
tо‘g‘ri chiziqlar bilan
chegaralangan tо‘g‘ri tо‘rtburchakka tushish ehtimolligini toping.
Yechish
.
3
,
6
,
2
,
4
2
1
2
1
y
y
x
x
deb olsak, (9.5) formulaga asosan
quyidagini hosil qilamiz:
6
,
4
3
,
4
6
,
2
3
,
2
3
6
,
2
4
F
F
F
F
Y
X
P
2
1
2
2
2
3
2
2
2
1
2
3
6
sin
4
sin
3
sin
4
sin
6
sin
2
sin
3
sin
2
sin
11
,
0
4
2
2
1
3
9.4. Ikki о‘lchovli uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi
Ikki о‘lchovli
Y
X
,
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
y
x
F
,
hamma joyda uzluksiz va uzluksiz ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilaga ega
bо‘lsin.
Ikki о‘lchovli uzluksiz
Y
X
,
tasodifiy miqdor taqsimotining zichlik
funksiyasi
y
x
f
,
deb, taqsimot funksiyasidan olingan ikkinchi tartibli aralash
xususiy hosilaga aytiladi:
y
x
y
x
F
y
x
f
,
,
2
(9.6)
6-misol
.
Y
X
,
tasodifiy
miqdorlar
sistemasining
berilgan
2
0
,
2
0
sin
sin
,
y
x
y
x
y
x
F
taqsimot funksiyasi bо‘yicha uning
y
x
f
,
zichlik funksiyasini toping.
Yechish
. Kо‘rinib turibdiki,
y
x
F
,
funksiya uzluksiz differensiallanuvchi,
x
bо‘yicha xususiy hosila topamiz:
y
x
y
x
x
F
x
sin
cos
)
sin
(sin
,
bundan
y
bо‘yicha hosila olamiz:
y
x
y
x
F
cos
cos
2
Shunday qilib, izlanayotgan zichlik funksiyasi
2
0
,
2
0
cos
cos
,
y
x
y
x
y
x
f
65
y
x
f
,
zichlik funksiyasini bilgan holda
y
x
F
,
taqsimot funksiyasi
x
y
dxdy
y
x
f
y
x
F
,
,
(9.7)
formula bо‘yicha topiladi, bu bevosita zichlik funksiya ta’rifidan kelib chiqadi.
y
x
f
,
zichlik funksiya quyidagi xossalarga ega.
1.
0
,
y
x
f
2.
1
,
dxdy
y
x
f
(9.8)
7-misol
. Ikki о‘lchovli
Y
X
,
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan:
2
2
9
4
,
y
x
C
y
x
f
a
)
C
о‘zgarmasni toping;
b
) tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping.
Yechish
.
a
) (9.8) formulaga kо‘ra
1
9
4
,
2
2
dxdy
y
x
С
dxdy
y
x
f
shartdan,
1
9
4
2
2
y
dy
x
dx
C
.
C
a
x
arctg
a
x
a
dx
1
2
2
jadval integralidan foydalanamiz.
2
2
2
2
1
2
2
1
4
2
x
arctg
x
dx
.
Xuddi shuningdek,
3
3
3
1
9
2
x
arctg
x
dx
,
yoki
1
3
2
C
, bundan,
2
6
C
.
Shunday qilib,
2
2
2
9
4
1
6
,
y
x
y
x
f
b
) taqsimot funksiyani topamiz.
x
y
y
arctg
x
arctg
y
dy
x
dx
y
x
F
2
3
3
1
2
2
2
1
6
9
4
6
,
2
2
2
2
yoki
2
1
3
1
2
1
2
1
,
y
arctg
x
arctg
y
x
F
Endi ikki о‘lchovli tasodifiy miqdor tashkil etuvchilarining zichlik
funksiyalarini izlaymiz. Avvalo
X
tashkil etuvchining
x
f
1
zichlik funksiyasini
66
topamiz. Uning taqsimot funksiyasini
x
F
1
bilan belgilaymiz. Bir о‘lchovli
tasodifiy miqdorning ta’rifiga kо‘ra
dx
x
dF
x
f
1
1
(9.7) formula va
,
1
x
F
x
F
munosabatni e’tiborga olib,
x
dxdy
y
x
f
x
F
,
1
ni yozish mumkin. Bu tenglikni ikkala tomonini
x
bо‘yicha differensiallab,
topamiz:
dy
y
x
f
dx
x
dF
,
1
yoki
dy
y
x
f
x
f
,
1
(9.9)
Y
tashkil etuvchining zichlik funksiyasi ham shunga о‘xshash topiladi:
dx
y
x
f
y
f
,
2
(9.10)
Shunday qilib, sistemaning tashkil etuvchilaridan birining zichlik funksiyasi
sistema zichlik funksiyasidan olingan chegaralari cheksiz xosmas integralga
teng, bunda integrallash о‘zgaruvchisi ikkinchi tashkl etuvchiga mos keladi.
8-misol
. Ikki о‘lchovli
Y
X
,
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan:
0
,
0
,
0
0
,
0
,
,
y
x
agar
y
x
agar
Ce
y
x
f
y
x
a
)
C
о‘zgarmasni;
b
) tashkil etuvchilarning zichlik funksiyalarini toping.
Yechish
.
a
)
1
,
dxdy
y
x
f
munosabatdan
0 0
0
0
1
C
dy
e
dx
e
C
dxdy
ex
C
y
x
y
x
demak,
0
1
dx
e
x
ekanligidan,
1
C
b
) (9.9) formuladan
0
1
0
,
,
x
e
dy
e
dy
y
x
f
x
f
x
y
x
;
xuddi shuningdek (9.10) formuladan
0
,
2
y
e
y
f
y
Shunday qilib, tashkil etuvchilarning zichlik funksiyalari
0
,
0
0
,
1
x
agar
x
agar
e
x
f
x
0
,
0
0
,
2
y
agar
y
agar
e
y
f
y
Do'stlaringiz bilan baham: |
