|
67
9.5. Bog‘liq va bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar
Agar har qanday
y
x
,
lar uchun
x
X
va
y
Y
hodisalar bog‘liq
bо‘lmasa,
X
va
Y
tasodifiy miqdorlar bog’liqsiz deyiladi.
Tasodifiy miqdorlar bog’liqsizligining zaruriy va yetarli shartlarini
keltiramiz.
Teorema
:
X
va
Y
tasodifiy miqdorlar bog’liqsiz bо‘lishi uchun (
X
,
Y
)
sistemaning taqsimot funksiyasi tashkil etuvchilarning taqsimot funksiyalari
kо‘paytmasiga teng bо‘lishi zarur va yetarli:
y
F
x
F
y
x
F
2
1
,
(9.11)
Isboti
: Zarurligi:
X
va
Y
tasodifiy miqdorlar bog’liqsiz bо‘lsin. U holda,
x
X
va
y
Y
hodisalar bog’liqsiz, binobarin, bu hodisalarning birga rо‘y berish
ehtimolligi ularning ehtimolliklari kо‘paytmasiga teng:
y
Y
P
x
X
P
y
Y
x
X
P
,
yoki
y
F
x
F
y
x
F
2
1
,
Yetarliligi:
y
F
x
F
y
x
F
2
1
,
bо‘lsin. U holda,
y
Y
P
x
X
P
y
Y
x
X
P
,
bо‘ladi. Bundan,
X
va
Y
bog’liqsiz ekanligi kelib chiqadi.
Natija
. Uzluksiz
X
va
Y
tasodifiy miqdor bog’liqsiz bо‘lishi uchun (
X
,
Y
)
sistemaning zichlik funksiyasi tashkil etuvchilarning zichlik funksiyalari
kо‘paytmasiga teng bо‘lishi zarur va yetarli:
y
f
x
f
y
x
f
2
1
,
(9.12)
Isboti
. Zarurligi:
X
va
Y
bog’liqsiz uzluksiz tasodifiy miqdorlar bо‘lsin. U
holda,
y
F
x
F
y
x
F
2
1
,
.
Bu tenglikni
x
bо‘yicha keyin
y
bо‘yicha differensiallaymiz:
dy
dF
dx
dF
y
F
x
F
x
y
F
2
1
2
1
2
yoki
y
f
x
f
y
x
f
2
1
,
ga ega bо‘lamiz.
Yetarliligi: (9.12) tenglik о‘rinli bо‘lsin.Bu tenglikni
x
bо‘yicha va
y
bо‘yicha
integrallaymiz:
y
x
x
y
dy
y
f
dx
x
f
dxdy
y
x
f
2
1
,
Bu esa ta’rifga kо‘ra
y
F
x
F
y
x
F
2
1
,
tenglikni о‘zidir. Bu yerdan
(yuqoridagi tenglikga asosan)
X
va
Y
tasodifiy miqdorlar bog’liqsiz ekanligi
kelib chiqadi.
68
9.6. Shartli taqsimot qonunlari
Avvalo tasodifiy hodisalar bо‘lgan holni qaraymiz. Agar
A
va
B
hodisalar
bog‘liq bо‘lsa, u holda
B
hodisaning shartli ehtimolligi uning shartsiz
ehtimolligidan farq qilishini bilamiz.Bu holda,
B
P
A
P
B
A
P
A
yoki
A
P
AB
P
B
P
A
(9.13)
Shunga о‘xshash holat tasodifiy miqdorlar uchun ham о‘rinli. Ikki о‘lchovli
tasodifiy miqdorning tashkil etuvchilari orasidagi bog‘lanishni tavsiflash uchun
shartli taqsimot qonuni tushunchasini kiritamiz.
Ikki о‘lchovli (
X
,
Y
) diskret tasodifiy miqdorni qaraymiz. Tashkil
etuvchilarning mumkin bо‘lgan qiymatlari
m
n
y
y
y
x
x
x
,
,
,
;
,
,
,
2
1
2
1
bо‘lsin.
X
ning
m
j
y
Y
j
,
1
shartda
n
i
x
i
,
1
qiymat qabul qilish shartli
ehtimolligini
j
i
y
x
P
/
orqali belgilaymiz.
X
tashkil etuvchining
j
y
Y
bо‘lganda shartli taqsimoti deb,
j
y
Y
hodisa rо‘y berdi degan farazda hisoblangan
j
n
j
j
y
x
P
y
x
P
y
x
P
,
,
,
2
1
shartli ehtimolliklar tо‘plamiga aytiladi.
Y
tashkil etuvchining shartli taqsimoti shunga о‘xshash aniqlanadi:
i
m
i
i
x
y
P
x
y
P
x
y
P
,
,
,
2
1
Ikki о‘lchovli diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini bilgan holda,
tashkil etuvchilarning shartli taqsimot qonunlarini (9.13) formuladan foydalanib
hisoblash mumkin.
Ikki о‘lchovli (
X
,
Y
) diskret tasodifiy miqdorning birgalikdagi taqsimot
qonuni
m
j
n
i
y
Y
x
X
P
y
x
P
P
j
i
j
i
ij
,
1
;
,
1
,
,
,
bо‘lsin.U holda,
X
tashkil etuvchining shartli taqsimot qonuni umumiy holda
m
j
n
i
y
Y
P
y
Y
x
X
P
y
Y
x
X
P
j
j
i
j
i
,
1
;
,
1
,
,
yoki
j
i
i
j
i
y
P
y
x
P
y
x
p
,
(9.14)
kabi aniqlanadi.
Y tashkil etuvchining shartli taqsimot qonunlari ham shunga о‘xshash
aniqlanadi:
m
j
n
i
x
X
P
y
Y
x
X
P
x
X
y
Y
P
i
j
i
i
j
,
1
;
,
1
,
,
yoki
m
j
n
i
x
P
y
x
P
x
y
p
i
i
i
i
j
,
1
;
,
1
,
. (9.15)
Bu yerda,
69
n
i
n
i
n
i
j
j
ij
j
j
ij
j
i
y
P
y
P
P
y
P
y
P
P
y
x
p
1
1
1
1
1
1
,
xuddi shuningdek tayin
i
x
da
1
1
m
j
i
j
x
y
P
.
9-misol
. Ikki о‘lchovli (
X
,
Y
)tasodifiy miqdor quyidagi jadval bilan berilgan.
Y
X
1
x
2
x
3
x
1
y
0,1
0,3
0,2
2
y
0,06 0,18
0,16
X
tashkil etuvchining
Y
tashkil etuvchi
2
y
qiymat qabul qildi degan shartda
shartli taqsimot qonunini toping.
Yechish
. Izlanayotgan qonun quyidagi shartli ehtimolliklar tо‘plami bilan
aniqlanadi:
2
3
2
2
2
1
,
,
y
x
P
y
x
P
y
x
P
.
4
,
0
16
,
0
18
,
0
06
,
0
2
y
P
ekanligi va (9.14) formuladan foydalanib quyidagilarni topamiz:
15
,
0
4
,
0
06
,
0
2
1
y
x
P
45
,
0
4
,
0
18
,
0
2
2
y
x
P
4
,
0
4
,
0
16
,
0
2
3
y
x
P
Demak,
X
tasodifiy miqdorning
2
y
Y
dagi shartli taqsimot qonuni quyidagicha
X
1
x
2
x
3
x
2
j
Y
0,15 0,45
0,4
1
4
,
0
45
,
0
15
,
0
2
i
i
y
x
P
Endi ikki о‘lchovli
Y
X
,
tasodifiy miqdor uzluksiz bо‘lgan holni qaraymiz.
y
x
f
,
Y
X
,
tasodifiy miqdorning birgalikda zichlik funksiyasi,
x
f
1
va
y
f
2
esa
X
va
Y
tashkil etuvchilarning zichlik funksiyasi bо‘lsin.
X
tashkil etuvchining berilgan
y
Y
qiymatdagi
y
x
shartli zichlik
funksiyasi deb, sistemaning
y
x
f
,
zichlik funksiyasining
Y
tashkil etuvchining
y
f
2
zichlik funksiyasiga nisbatiga aytiladi:
y
f
y
x
f
y
x
2
,
(9.16)
Shuni ta’kidlash lozimki,
y
x
shartli funksiyaning
x
f
1
zichlik
funksiyasidan farqi
y
x
funksiya
X
ning
Y
tashkil etuvchi
y
Y
qiymat
qabul qildi degan shartdagi taqsimotini beradi.
x
f
1
esa
X
ning
Y
tashkil
etuvchi mumkin bо‘lgan qiymatlardan qaysilarini qabul qilganligiga bog‘liq
bо‘lmagan holda taqsimotini beradi.
Y
tashkil etuvchining berilgan
x
X
qiymatdagi shartli zichlik funksiyasi
ham shunga о‘xshash aniqlanadi:
70
x
f
y
x
f
x
y
1
,
(9.17)
Agar sistemaning
y
x
f
,
zichlik funksiyasi ma’lum bо‘lsa, u holda
((9.9),(9.10)) shartli zichlik funksiyalar quyidagicha topilishi mumkin:
dx
y
x
f
y
x
f
y
x
,
,
,
dy
y
x
f
y
x
f
x
y
,
,
1
(9.18)
(9.16) va (9.17) formulalarni hisobga olib,
y
x
f
,
zichlik funksiyasini quyidagi
kо‘rinishda ifodalash mumkin:
y
x
y
f
y
x
f
2
,
yoki
x
y
x
f
y
x
f
1
,
Har qanday zichlik funksiyasi kabi shartli zichlik funksiyalar ham
0
y
x
,
1
dx
y
x
;
0
x
y
,
1
dy
x
y
xossalarga ega.
Do'stlaringiz bilan baham: |
