Muxtor sistema m uxtor sistema traektoriyasining muhim xossasi

Teorema. (6) tenglamaning muvozanat nuqtasi b turg’un bo’lishi uchun (a,b)intervalda f (x) > 0 va (b,c)intervalda f (x) <0 bo’lishi zarur va yetarli; muvozanat nuqta bnoturg’un bo’lishi uchun (a,b)da f(x)<0,(b,c)daf(x) > 0bo’lishi zarur va yetarli; nihoyat, b nuqta yarim turg’un bo’lishi uchun f (x) funksiyaning ishorasi (a, b) va (b, c) intervallarda bir xil bo’lishi zarur va yetarli.
Bu teoremaning isboti yuqoridagi mulohazalar va ta’riflarga asosan ravshan.
Shuni eslatamizki, bu teoremada foydalanish uchun funksiyaning ishorasini u yoki bu intervallardan tekshirish lozim. Agar f(x) funksiyaning hosilalaridan foydalansak, tekshirish osonlashadi. Shu munosabat bilan quyidagi teoremani keltiramiz.
Teorema. (6) tenglama uchun b muvozanat nuqta bo’lib f (x) funksiya shu nuqtada 2s +1( s - natural son) - tartibgacha uzluksiz hosilalarga egabo’lsin. Agar ushbu
, 0 (9)
munosabatlar bajarilsa, b nuqta yarim turg’un muvozanat nuqta bo’ladi; shunga o’xshash, agar ushbu
, 0 (10)
munosabatlar bajarilib

1. 
   f^(2s+1)(b) < 0 bo’lsa, b - turg’un, (10')
   
2. 
   f^(2s+1)( b ) > 0 bo’lsa, b - noturg’un. (10'')
   

muvozanat nuqta bo’ladi.
Isbot. (6) tenglamada f(x) funksiya biror k -tartibgacha uzluksiz hosilalarga ega bo’lsin. U holda f(x) funksiya uchun x = b nuqtaning atrofida Lagranj formulasini yozamiz:

bunda = 0. Endi k =2sbo’lsin. U holda (9) munosabatlardan
foydalansak,

formulaga ega bo’lamiz. x (a, b)deylik. Bu holda x - b <0;shuningdek, x (b, c)bo’lsa, x - b > 0. Ammo (x - b)^2s> 0 bo’ladi. Shuning uchun
formulaning o ng tomonidagi 0((x - b)^2s ) foda (x-b)^2shandingishorasiga ta’sir eta olmaganidan



munosabat o’rinli. Lekin f^(2s)(b) 0. Shuning uchun f(x)funksiya (a,b)va(b, c) intervallarda bir xil ishoraga ega. Demak, (9) munosabatlarbajarilganda b nuqta yarim turg’un bo’ladi.
Endi (10) munosabat o’rinli bo’lsin deylik. U holda Lagranj formulasida k = 2 5 +1 ,5 = 0,1,... deb topamiz:

Bu formulada o’ng tomonning ishorasi birinchi had bilan aniqlanadi, ishoraga 0((x-b)^2s+1) had ta’sir eta olmaydi. Avval (a,b) intervalni ko’raylik. Unda x-b< 0, demak, (x - b)^(2s+1)< 0 Bundan (a,b) va f (x) ning ishorasi f^(2s+1)(b) ning ishorasiga teskari bo’lib chiqadi, ya’ni (a, b)intervalda
(11)
(b, c) interval uchun x - b> 0, (x - b )^2s+1> 0 va (b, c )da
(12)
Topilgan (11) va (12) munosabatlardan (x - b)^(2s+1)< 0bo’lsa, f(x) >0, x (a, b),f(x) <0,x (b,c) tengsizliklar kelib chiqadi. Bu holda ta’rif bo’yicha b nuqta turg’un bo’ladi. Agar (x - b)^(2s+1)> 0bo’lsa, ushbu f(x) <0,x (a, b);f(x) >0,x (b, c) tengsizliklarga egamiz. Bu holda esa b nuqta noturg’un bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.
Hozir isbotlangan teoremada keltirilgan (9) va (10), (10'), (10'') shartlar muvozanat nuqtasining yarim turg’un, turg’un va noturg’un bo’lishi uchun yetarli shart vazifasini bajaryapti. Aslida bu shartlar zarur va yetarlidir. Zarurligining isboti ham yuqoridagi kabi bo’ladi.