Muxtor sistema m uxtor sistema traektoriyasining muhim xossasi

2. Skalyar avtonom tenglamaning holatlar to’g’ri chizig’i va muvozanat holati.
Ushbu
x^’= (x) (6)
skalyar avtonom tenglamani ko’ramiz. Bunda f(x) -butun R¹to’g’ri chiziqda uzluksiz va uzluksiz differensiallanuvchi funksiya. Yana qo’shimcha faraz etamizki, f(x) funksiyaning nollari (ular berilgan avtonom tenglamaning muvozanat nuqtalaridir) limit nuqtaga ega bo’lmasin. Bu farazga ko’ra f (x) ning nollari butun to’g’ri chiziqni chekli yoki sanoqli sondagi intervallarga bo’ladi. Eng chap intervalning (agar u mavjud bo’lsa) chap oxiri - , eng o’ng intervalning (agar u mavjud bo’lsa) o’ng ohiri + bo’ladi. Shu intevallar sistemasini bilan begilaymiz. Agar f (x)funksiyaR¹ to’g’ri chiziqda bitta ham nolga ega bo’lmasa, sistema bitta (- ,+ ) intervaldan iborat bo’lib, f(x) -bitta x₀nolga ega bo’lgan sistema ikkita (- , x₀),( x₀,+ ) intervaldan iborat bo’ladi.
Teorema. sistemaning biror intervalini (a, b) deylik, ya’ni (a,b) , yana x₀ (a,b) bo’lsin. Agar x = (t) ,r₁< t < r₂, berilgantenglamaning ( , x ₀ ),ri < < r₂, boshlang’ich qiymatlarga ega bo’lgan davomsiz yechim bo’lsa, u holda f ( x₀) > 0 bo’lganda ushbu
a< (t) r₁< t < r₂ (7)
, (8)
Munosabatlar o’rinli shu bilan birga, agar a(yokib ) chekli bo’lsa, u holda r₁(yoki r₂ )cheksiz bo’ladi. Shunday qilib, har bir (a, b) interval bitta holat traektoriyasidan iborat.

2-chizma
Isbot. f(x₀) >0, x₀ (a,b) bo’lgani uchun (teoremani f(x₀) < 0bo’lganda ham tegishlicha bayon etib, isbotlash mumkin, (a, b) intervalda f(x) >0va x^’ > 0bo’ladi. Bunda (a, b) da holat nuqtasi chap o’ngga harakat qilib, holat traektoriyasini chizishi kelib chiqadi (2 - chizma). Demak, to’sishi bilan (t)nuqta (a,b) intervaldan faqat o’ng oxiri orqali chiqib orqali chiqib ketishi mumkin (agar bu mumkin bo’lsa). Deylik, t = t1 bo’lganda (t1) = b bo’lsin. Eslatib o’tamizki, (b) = 0va b - muvozanat nuqtasi, bu b nuqta ham yuqoridagi teoremaga ko’ra mustaqil traektoriyadan iborat. Ammo yuqoridagi farazga ko’ra x= bvax= (t)traektoriyalari t = t1 da kesishadi. f (x)funksiya uzliksiz differensiallanuvchi bo’lgani uchun (6) tenglama ixtiyoriy tayinlangan boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan yagona yechimga ega. Shuning uchun biz ziddiyatga keldik. Demak, t o’sishi bilan (t)nuqta (a, b) intervaldan chiqib keta olmaydi. ( t)nuqtakamayishibilan ( a, b ) intervaldanchapoxiriorqalichiqibketaolmasligi ham xuddi shunday ko’rsatiladiki. Demak, usha a< (t) <b tengsizliko’rinli.
Shunday qilib, (7) munosabatlar isbotlandi.
Endi (8) munosabatni isbotlaymiz.
Buning uchun isbotlash yetarli.
Qolganmunosabatshungao’xshashisbotlanadi.
ya’ni
Debfaraz etamiz. (a,b)intervaldaf(x)>0 bo’lganiuchunf(c^*)>0 bo’ladi. (6)
tenglamaning (0, c ^*) boshlang ’ichqiymatlargaegabo’lganyechimini ( x) deylik. Demak,
(0) = c*, (t) = f'( (t)).Bundanf(c^*) >0 bo’lganiuchunbirort = t_*<0 ,t_* (r1,r₂)bo’lganda ( t _*) = c kelibchiqadi.Ikkinchitomondan,t r da (t) c_*bo ’lganiuchun (t_*) <c^*, t_*<r₂
bo ’ladi.Butengsizliklargaasosan (t_*) = (t_*) = x_*,a <_x* <c^*<b debtanlashmumkin.
Boshqachaaytganda, (6)tenglamaningikkita ( t) va (x)yechimlaribirxilboshlang’ichshartni qanoatlantirayapti. Buyechimningyagonaligigazid.Shundayqilib,(8)munosabatlarisbotlandidesabo’ladi.Teoremaning oxirgi tasdig’ini isbotlash qoldi. Buning uchun b chekli bo’lsin deylik, ya’ni b< ; r=+ ekanini isbotlaymiz. Faraz etaylik, r<+ .
Ushbu funksiyani kiritamiz:

Bu funksiya (6) tenglamaning yechimi, ammo buning bo’lishi mumkin emas. Aks holda ikki yechim x = (y)vax = blar t = r₂ bo’lganda bir xil qiymatlarga ega bo’ladi. Shunday qilib, r₂ =+ . Xuddi shunga o’xshash a> - bo’lganda r1 = - ekani isbotlanadi. Teorema to’liq isbot bo’ldi.
Keltirilgan teorema (6) tenglama yechimlarining muhim xossasini beradi.Navbatdagi xossani bayon etishdan avval ba’zi tushunchalarni kiritamiz.
Berilgan (6) tenglamaning biror muvozanat nuqtasini b , undan chap va o’ng tomondagi eng yaqin muvozanat nuqtalarni ava c deylik. Agar (a,b)interval sistemaning eng chap, (b,c) esa uning eng o’ng intervali bo’lsa, u holda a =- ,c =+ bo’ladi. Quyidagi mulohazalar shu hollarda ham o’rinli. Demak, (a,b) ,(b,c) .Har bir (a,b) yoki (b,c) intervalda f (x) 0. Shu f (x) funksiyaning musbat yo manfiyligiga qarab (a, b) va (b, c) intervallarda holar nuqtasi t ortishi bilan yo b ga yaqinlashadi, yo undan uzoqlashadi.
Agar har ikki (a,b) va (b, c) intervallarda ha holat nuqtasi t ortishi bilan b ga yaqinlashsa, u holda nuqta (muvozanat nuqtasi) turg’un deyiladi; agar t ortishi bilan har ikki intervalda ham holat nuqtasi b nuqtadan uzoqlashsa, u holda b nuqta noturg’un (turg’unmas) deyiladi; agar t ortishi bilan holat nuqta bir intervalda b ga yaqinlashib, ikkinchi intervalda undan uzoqlashsa, u holda b nuqta yarim turg’un deyiladi.
x = x tenglamaning bitta x = 0muvozanat nuqtasi bor. Demak, b = 0va sistema ikkita (- ,0)hamda (0,+ ) intervallardan tashkil topgan. Ravshanki, (- ,0) intervalda holat nuqtasi b dan uzoqlashadi, ya’nix<0 bo’lgani uchun harakat o’ngdan chapga bo’ladi.(0,+ )intervaldaesaharakat chapdano’nggabo’ladi, ya’niholatnuqtasivaqto’tishibilanbnuqtadanyanauzoqlashadi. Shundayqilib, x= xtenglamauchun b = 0 nuqtanoturg’unmuvozanatnuqtadir. Shungao’xshash, agar x = - x tenglamako’rilsa, x = 0 nuqtaturg’unmuvozanatnuqtaekaniniko’rsatishmumkin.
Mulohazalarni integral ehiziqlar yordamida ham olib borish mumkn edi. Xususan x^’ = xtenglama uchun x =0muvozanat nuqtasiga (t, x) tekislikdagi trivial yechim, ya’ni t o’qi mos keladi. Bu gorizontal o’qning yuqori va pastki qismidagi integral ehiziqlar t ortishi bilan borgan sari shu o’qdan uzoqlashib ketadi (3- chizma).x^’ = -xtenglama esa buning aksi bo’ladi.
Shunday qilib, (6) tenglama uchun b muvozanat nuqtaning atrofida, aniqrog’i (a, b) va (b, c) intervallarda holat nuqtasining harakati to’g’risida quyidagi teorema o’rinli.

3-chizma