Muxtor sistema m uxtor sistema traektoriyasining muhim xossasi

2.3 Muxtor sistemaning holatlar fazosi.
Avtonom sistema (2) ning o’ng tomonidagi funksiyalar n - o’lchovli fazoning biror ochiq to’plamida aniqlangan. Shu to’plamning har bir (x⁰₁,...,x_n⁰) = x^onuqtasiga ushbu
f₁(x⁰), f₂(x⁰),..., f_n(x⁰)
n ta sonlar ketma - ketlikligini mos keltirish mumkin. Ularni n o’lchovli fazoning x⁰ nuqtasidan chiqarilgan f(x⁰) vektorning koordinatalari deb qarash mumkin. Bundan ko’ranadiki, avtonom sistemaga to’plamsi aniqlangan vektor maydon mos keladi.
x⁰ nuqta to’plamning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Avtonom sistemaning geometrik ma’nosi nuqtai nazaridan shu x ⁰nuqtaga undan chiqadigan f(x⁰) vektor mos keltirilgan. Mavjudlik va yagonalik teoremasiga ko’ra (2) sistemaning (t₀ )= x⁰ shartni qanoatlantiradigan x = (t)yechim mavjud. Bu yechimga t = t₀ da traektoriyasi x ⁰nuqtadan o’tadigan nuqtaning harakati mos keladi. Harakat davomida x = ( t ) yechmni belgilaydigan nuqtaningt₀ momentdagi tezligi f(x⁰)vektor bilan ifodalanadi, ya’ni

Endi holatlar fazosi tushinchasini kiritamiz.
Ta’rif. (2) avtonom sistemaning holatlar fazosi deb shunday n o’lchovli fazoga aytiladiki, unda shu sistemaning yechimlari traektoriyalar bilan, sistemaning o’zi esa vektor maydon bilan tavsiflanadi. Traektoriyalar holattraektoriyalari deb, vektorlar holat tezliklari deb ataladi.
Teorema. Ushbu a = (a1,...,an) Dn (Dn = ) nuqta (2) sistemaning
muvozanat holati bo’lishi uchun, ya’ni shu sistemaning (t) = a, a = const ayniyat o’rinli bo’ladigan
x = (t)yechimi mavjud bo’lishi uchun D_n sohaning a nuqtasida holat tezligi nolga teng bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. a D_n nuqta muvozanat holati deylik. U holda (2) sistemaning ( t) = a ayniyat o’rinli bo’ladigan x = ( t )yechimi mavjud. Shuning uchun f(a) = . Demak, f (x) holat tezligi x = a nuqtada nolga aylanadi.