Muxtor sistema m uxtor sistema traektoriyasining muhim xossasi

Misollar. 1. Avval x^’ = x tenglamani olaylik. Unda f (x) = x bo’lib, f '(0) = 1> 0. Demak, yuqoridagi teoremaga ko’ra x = 0 nuqta notug’un. Agar x^’ = -xtenglamani olsak, unda f (x) = -xva
f '(0) = -1 < 0.Bu holda x = 0nuqta turg’un bo’ladi. Endi x^’ = p(x -1)(x +1)(x + 2), 0 p = const tenglamani ko’raylik. Unda f( x) = p( x-1)( x+1)( x+ 2) bo’lib, x₁ = 1, x₂ = -1, x ₃ = -2 nuqtalar muvozanat nuqtalaridan iborat. Hosilalarni isbotlaymiz:
f '(x) = p[(x+1)(x+ 2) + (x -1)(x+ 2) + (x -1)(x+1)]

4-chizma
Ko’rinib turibdiki, f '(1) = 6p, f'(-1) = -2p, f '(-2) = 3pvap 0 bo’lgani uchun bu hosilalar noldan farqli. Biz 2s +1 = 1 bo’lgan holga egamiz. p> 0 bo’lsa, 6p > 0 va x₁ = 1 nuqta noturg’un; - 2p > 0 va
x₂= -1 nuqta turg’un;3 p < 0 va x₃ = -2 nuqta noturg’un bo’ladi ( 4-chizma).
2. Ushbu x = sin x tenglama uchun muvozanat nuqtalari sin x = 0 tenglamaning ildizlaridan iborat. Ildizlar x = n (n - butun son) ko’rinishda yoziladi. Bu holda f'(x) = (sin x)' = cos x bo’lib:

Yuqoridagi teoremaga ko’ra, x = 2k ko’rinishdagi nuqtalar noturg’un, x = (2k +1) ko’rinishdagi nuqtalar esa turg’un bo’ladi. Qayd qilib o’tamizki, berilgan tenglamaning muvozanat nuqtalari sanoqli bo’lib, limit nuqtaga ega emas.
2.4 Chiziqli o’zgarmas koeffisientli bir jinsli sistemaning holatlar tekisligi.
Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffitsiyentli ikkinchi tartibli sistemani ko’raylik. Bunday sistema
(13)
ko’rinishida yoziladi(a_ij = const). Bu sistemaning muvozanat holati
(14)
sistemaning trivial yechimi y₁ = 0,y₂ = 0 dan iborat bo’lib, holatlar tekisligida koordinatalar boshidan iborat. Bizni shu muvozanat holat atrofida holat trayektoriyalarining ko’rinishi qiziqtiradi. Bu esa
|A| — det(a_ij) determinantga bog’liq bo’ladi, chunki mos xarakteristik tenglama
(15)
ko’rinishda yozilishi ma’lum. (24) tenglama k ga nisbatan kvadrat tenglama
bo’lib, uning ildizlari k₁ , k₂ haqiqiy yoki kompleks bo’lishi mumkin. Eslatib
o’tamizki, a_ijlarhaqiqiy o’zgarmaslardir.

5-chizma 6-chizma
(I) k₁va k₂ haqiqiy, har xil va noldan farqli.

1. 
   k₁va k₂ lar bir xil ishoraga ega. Shu holga va umuman, I holga tegishli
   

mulohazalarni (13) sistemani soddaroq ko’rinishga keltirib olib borilsa, qulay bo’ladi. Eslatilgan (I) holda o’zgaruvchilarni shunday almashtirish mumkinki, natijada hosil bo’lgan sistema
(16)
ko’rinishga keladi. Bundan z₁ = C₁e^k1t, z₁ = C₂e^k2t. Bu (z₁, z₂) tekislikda holat trayektoriyasining parametrik tenglamasidir.
Agar k₁< 0, k₂< 0 bo’lib, k₁>k₂ bo’lsa, trayektoriyalar 5-chizmadagidek bo’ladi; k₁< 0, k₂<0 ,
k₁₂ bo’lsa, trayektoriyalar 6-chizmadagidek bo’ladi. Har ikki holda ham hosil bo’lgan rasmturg'un tugun rasmi (hamma traektoryalar bo’yicha harakat t + da muvozanat holati tomon yo’nalgan) deyiladi. Agar k₁> 0, k₂> 0 bo’lsa, biz yana yuqoridagi rasmning o’ziga faqat yo’nalishi teskari bo’lgan holdaega bo’lamiz. Bunday rasm turg’unmas tugun rasmi deyiladi.
2) k₁ va k₂ lar turli ishoralarga ega. Agar k₂< 0 < k₁ tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda biz egar rasmiga egamiz. Bu 7-chizmada tasvirlangan. k₁< 0<<k₂ bo’lsa, rasm 8-chizmadagidek bo’ladi.

7-chizma 8-chizma
II. k₁va k₂ kompleks sonlar. Bu holda shunday almashtirish topiladiki, natijada yangi noma’lumlarga nisbatan
(17)
sistema hosil bo’ladi. Yuqorida k₁ = a + ib, k₂ = a - ib deb qaraldi. (17) sistemaning umumiy yechimini
(18)
deb yozish mumkin. Bu esa holat trayektoriyalarining parametrik tenglamalaridir.
Misol. Ushbu

Sistema uchun A= va _{1= 2} = -1
Sodda hisoblashlar yordamida topamiz:

Yoki

Bundan ( ). Deamk,

Vektori ushbu

tenglikdan topiladi. Uni soddalashtirsak,

tenglikka keladi. Bundan ( Demak,
h⁽²⁾ = . Shunday qilib, basis sifatida va . vektorlarga egamiz. ₁ = -1
bo’lgani uchun bu bazislar asosida turg’un tug’ilma tugun manzarasini chizamiz.
G) A matrisaning xos sonlaridan kamida bittasi nolga teng. Bunda ikki holni alohida ko’ramiz.

9-chizma
1-hol. Faqat bitta xos son nolga teng, xususan, 1 0, 2 = 0 bo’lsin. Bu holda yechimni