Muxtor sistema m uxtor sistema traektoriyasining muhim xossasi

Ta’rif. (2) avtonom sistemaning holatlar fazosi deb shunday n o’lchovli fazoga aytiladiki, unda shu sistemaning yechimlari traektoriyalar bilan, sistemaning o’zi esa vektor maydon bilan tavsiflanadi. Traektoriyalar holat traektoriyalari deb, vektorlar holat tezliklari deb ataladi.
Teorema. Ushbu a = (a1,...,an) Dn (Dn = ) nuqta (2) sistemaning
muvozanat holati bo’lishi uchun, ya’ni shu sistemaning (t) = a, a = const ayniyat o’rinli bo’ladigan
x = (t)yechimi mavjud bo’lishi uchun D_n sohaning a nuqtasida holat tezligi nolga teng bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. a D_n nuqta muvozanat holati deylik. U holda (2) sistemaning ( t) = a ayniyat o’rinli bo’ladigan x = ( t )yechimi mavjud. Shuning uchun f(a) = . Demak, f (x) holat tezligi x = a nuqtada nolga aylanadi.
Yetarliligi.a Dn nuqtada f (a) = 0. Bu holda (t) = a funksiya (2)sistemaning yechimi bo’ladi. Haqiqatan, (t) = a C¹, a D_n , (t) = va f(a) = 0. Teorema isbot bo’ldi.
Natija. (2) avtonom sistemaning mufozanat holatlari (nuqtalari) ushbu
f₁(a₁,...,a_n)=0
………………. (5)
f_n(a₁,...,a_n)=0
chekli tenglamalar sistemasining (unga hosilalar kirmaydi) yechimlaridan iborat. Xususan, = (x -1)³ tenglamaning muvozanat nuqtasi x = 1 nuqtadaniborat, chunki (x -1)³ = 0 tenglama shu yechimga ega, = (x -1)³(x + 2) tenglama ikkita x = 1, x = -2 muvozanat nuqtasiga ega. Yana ushbu


( , , - haqiqiy, 0, 0) sistemaning muvozanat holati koordinata boshidan iborat bo’lib, D₂ sohada butun tekislikdir. Shunga o’xshash = ax₁ – bx2, = bx₁ + ax2 (b , a - haqiqiy sonlar)sistemaning muvozanat holati ham koordinata boshidan iborat, chunki

s istema faqat trivial yechimga ega (sistemaning determinant a² + b² 0). Muvozanat nuqtalari sanoqli yoki sanoqsiz bo’lishi mumkin. Xususan, x = sin x uchun x = k (k - butun son) nuqtalar muvozanat nuqtalari bo’lib, sanoqli to’plamni tashkil qiladi. Sistema uchun x₁ = 0 chiziq (x₂ o’q)muvozanat holatini beradi.
Biz sanoqsiz to’plamga egamiz.
Agar x₁ = 0, x_k= a_k 0, i = 1,...,n, i k ,1 <k<n systema berilgan bo ’lsa, uning muvozanat nuqtasi mavjud emas, chunki f 0
Keyingi reja Chiziqli o’zgarmas koeffisientli bir jinsli sistemaning holatlar tekisligi. Bu rejada quyidagilarni yozdim.
Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffitsiyentli ikkinchi tartibli sistemani ko’raylik. Bunday sistema
(13)
ko’rinishida yoziladi(a_ij = const). Bu sistemaning muvozanat holati
(14)
sistemaning trivial yechimi y₁ = 0, y₂ = 0 dan iborat bo’lib, holatlar tekisligida koordinatalar boshidan iborat. Bizni shu muvozanat holat atrofida holat trayektoriyalarining ko’rinishi qiziqtiradi. Bu esa
|A| — det(a_ij) determinantga bog’liq bo’ladi, chunki mos xarakteristik tenglama
(15)
ko’rinishda yozilishi ma’lum. (14) tenglama k ga nisbatan kvadrat tenglama
bo’lib, uning ildizlari k₁ , k₂ haqiqiy yoki kompleks bo’lishi mumkin. Eslatib
o’tamizki, a_ijlarhaqiqiy o’zgarmaslardir.

5-chizma 6-chizma
(I) k₁va k₂ haqiqiy, har xil va noldan farqli.

1. 
   k₁va k₂ lar bir xil ishoraga ega. Shu holga va umuman, I holga tegishli
   

mulohazalarni (13) sistemani soddaroq ko’rinishga keltirib olib borilsa, qulay bo’ladi. Eslatilgan (I) holda o’zgaruvchilarni shunday almashtirish mumkinki, natijada hosil bo’lgan sistema
(16)
ko’rinishga keladi. Bundan z₁ = C₁e^k1t, z₁ = C₂e^k2t. Bu (z₁, z₂) tekislikda holat trayektoriyasining parametrik tenglamasidir.
Agar k₁< 0, k₂< 0 bo’lib, k₁>k₂ bo’lsa, trayektoriyalar 5- chizmadagidek bo’ladi; k₁< 0, k₂<0 ,
k₁₂ bo’lsa, trayektoriyalar 6-chizmadagidek bo’ladi. Har ikki holda ham hosil bo’lgan rasmturg'un tugun rasmi (hamma traektoryalar bo’yicha harakat t + da muvozanat holati tomon yo’nalgan) deyiladi. Agar k₁> 0, k₂> 0 bo’lsa, biz yana yuqoridagi rasmning o’ziga faqat yo’nalishi teskari bo’lgan holdaega bo’lamiz. Bunday rasm turg’unmas tugun rasmi deyiladi.
2) k₁ va k₂ lar turli ishoralarga ega. Agar k₂< 0 < k₁ tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda biz egar rasmiga egamiz. Bu 7-chizmada tasvirlangan. k₁< 0<<k₂ bo’lsa, rasm 8-chizmadagidek bo’ladi.

7-chizma 8-chizma
II. k₁va k₂ kompleks sonlar. Bu holda shunday almashtirish topiladiki, natijada yangi noma’lumlarga nisbatan
(17)
sistema hosil bo’ladi. Yuqorida k₁ = a + ib, k₂ = a - ib deb qaraldi. (17) sistemaning umumiy yechimini
(18)
deb yozish mumkin. Bu esa holat trayektoriyalarining parametrik tenglamalaridir.