Muxtor sistema m uxtor sistema traektoriyasining muhim xossasi

Teorema(muvozanat holat va yopiq traektoriyalar haqida). Agar (3) tenglamaning biror (t) yechimi uchun (t₁)= (t₂), t₁ t₂ tenglik bajarilsa, quyidagi biri ikkinchisini inkor etadigan ikki hol yuz berishi mumkin:

1. 
   barcha t lar uchun
   

2. 
   shunday musbat son T mavjudki, ixtoyoriy t uchun
   

tenlikbajarilib, 0<| ₁ - ₂| <T bo’lganda tengsizliko’rinli.
1)xolda vaqt o’tishi bilan nuqta harakat qilmaydi, u doim D_n to’plamni a nuqtasida bo’ladi. Shu yechim vaa nuqta (3) tenglamaning, ya’ni normal avtonom sistemaning muvozanat holati yoki muvozanat nuqtasi deyiladi. Ba’zida uni tinchlanish nuqtasi deb ham ataladi;

2. 
   holdax= yechim davriy yechim, uning grafigi yopiq traektoriya yoki sikl (davri) deb ataladi.
   

Teoremaning isboti. Ushbu
(4)ayniyat o’rinli bo’ladigan har bir C 0 son x = yechimning davri deyiladi. Shu x = yechimning barcha davrlaridan tuzilgan to’plam F bo’lsin. Hozir bu son to’plamning ba’zi xossalarini tekshiramiz.

1. 
   Agar C bo’lsa, - bo’ladi. Haqiqat (4) da t – c ga almashtiramiz: = . Bundan - C kelib chiqadi.
   

2) Agar = ,i = 1,2,...,k,Ci F bo’lsa, u holda
= ya ’ ni bo’ladi. Haqiqatan,



3) F to’plam yopiq. Haqiqatdan, ushbu C₁, C₂,..., C_k,... ketma - ketlik F to’plam elementlaridan tuzilgan bo’lib, biror C₀ ga yaqinlashuvchi bo’lsin.
C0 F ekanini ko’rsatamiz. Ravshanki, .
Shuninguchun funksiyaninguzluksizligigako’raargumentdalimitgao’tish mumkin , ya’niquyidagiamallaro’rinli:

Demak, C₀ F va F - yopiq.
4)F to’plam noldan farqli sonlarni o’z ichiga oladi, chunki (4) da
C , t₁ t_2.
Endi teoremaning isbotiga o’taylik. F to’plam uchun quyidagi ikki hol bo’lishi mumkin:

1. 
   F to’pam barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iboratdir;
   
2. 
   F to’plamda shunday kichik musbat T son mavjudki, u to’plam shu T songa butunkarrali sonlardan iborat.
   

Boshqa hollar bo’la olmaydi. Buni isbot etamiz.
F to’plamda musbat sonlar bor, chunki, 0 F bo’lib, C, -C lar uningelementi. F to’plamda eng kichik musbat son bo’lmasin, ya’ni ixtiyoriy musbat >оuchun C davr topiladiki, C < bo’ladi. (2) xossaga ko’ra m – butun bo’lsa, mC ham davr bo’ladi. C< bo’lgani uchun ixtiyoriy haqiqiy C₀ uchun shunday butun m topiladiki, |C₀ - mC|< tengsizlik bajariladi.
Bundan ixtiyoriy C₀ son F to’plamning limit nuqtasi ekani kelib chiqadi. Shu bilan birga F to’plam yopiq bo’lgani uchun u barcha haqiqiy sonlar to’plami bilan ustma – ust tushadi.
Endi F to’plam barcha haqiqiy sonlar to’plami bilan ustma – ust tushmasin,
deylik.
Yuqorida isbotlanganigako’rabuholdaFto’plamdaengkichikmusbatTmavjud. C–ixtiyoriydavr bo’lsin. Uholdashundaybutunson m nitanlash mumkinki,
ushbu |C - mT|< T tengsizlik bajariladi. Bunda C - mT 0deylik.
AmmoCvamT lardavrbo’lganiuchunC–mThamdavr bo’ladi. Demak,
|C - mT| hamdavrbo’ladi.
Shuninguchun|c -mT|>0 va|c- mT|< TtengsizliklardanFto’plamningTdankic hikbo’lganmusbatdavr mavjud. Bubo’lishimumkinemas,
ChunkiTsonFto’plamdaengkichikmusbatdavredi.
Ziddiyat C = mTbo’lishikerakliginiisbotlaydi. Demak, C = mT. Shundayqilib, ko’rilayotganholdaFto’plamTgakarralisonlardaniborat. Natijaqilib aytganda, undaengkichikmusbatsonT> 0mavjudvaFto’plamshuTgakarralisonlardan
tashkiltopgan.
Birinchiholda (t )yechimuchunixtiyoriyhaqiqiysondavr bo’ladi;
Bufaqat (t) vektor - funksiyao’zgarmasvektordaniboratbo’lgandaginamumkin, ya’niagar (t) = a,a Dn bo’lsa, uholda C – ixtiyoriyhaqiqiysonbo’lsaham
( t + C) = a tenglikbajarilavermaydi. Bizmuvozanatholatigaegamiz.
Ikkinchi holda Fto’plamning eng kichik musbat t soni ( t ) yechimning davri (eng kichik musbat davri) bo’ladi. Biz davriy yechimga egamiz. Shunday qilib,teorema to’liq isbot bo’ldi.