Mundarija Kirish I bob. Topologik fazolarning xossalari

Separabel fazolar
1.3.10.Ta’rif. Agar bo‘lsa, topologik fazoning to‘plamostisi fazoda mutloq zich deyiladi, ya’ni to‘plamning tegish nuqtalari butun fazodan iborat. Agar to‘plam uchun tenglik o‘rinli bo‘lsa, to‘plam hech qayerda zich (albatta, ning) bo‘lolmaydi. Boshqacha aytganda, hech qayerda zich bo‘lmagan to‘plamlar hech qanday ochiq to‘plamda zich emasdir. Hech qayerda zich bo‘lmagan to‘plamlarga tekislikdagi ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq, ixtiyoriy ikkinchi tartibli chiziqlar va ixtiyoriy algebraik chiziqlar kiradi. Mutloq zich to‘plamlarga sonlar to‘g‘ri chizig‘ida ratsional, irratsional sonlar to‘plami kiradi. fazoda esa mutloq zich to‘plamga hamma koordinatalari ratsional sondan iborat bo‘lgan to‘plam kiradi. Shuni ta’kidlash kerakki, agar to‘plam da mutloq zich bo‘lsa, u holda to‘plam albatta ning barcha yakkalangan nuqtalarini o‘zida saqlaydi. Agar topologik fazo diskret fazo bo‘lsa, uning yagona mutloq zich to‘plami fazoning o‘zidan iborat bo‘ladi.
1.3.11.Ta’rif. Agar fazoda sanoqli va mutloq zich to‘plam mavjud bo‘lsa, u separabel fazo deyiladi.
Separabel fazolarga muhim misol sifatida va fazolarni keltirish mumkin. fazoda barcha ratsional koordinatalarga ega bo‘lgan nuqtalar to‘plami, fazoda esa, ratsional koeffitsiyentli ko‘phadlar sanoqli va mutloq zich to‘plamlardir.
Separabel bo‘lmagan fazoga ixtiyoriy sanoqli bo‘lmagan to‘plamdagi diskret fazo misol bo‘ladi.
Biz topologiya bazasi tushunchasi bilan oldinroq tanishgan edik. Bundan tashqari, yana bir muhim tushuncha nuqtaning atroflari sistemasining bazasi tushunchasi ham mavjud.
1.3.12.Ta’rif. topologik fazodagi nuqtaning atroflari oilasi bo‘lib, agar nuqtaning ixtiyoriy atrofida bu oilaning birorta elementi yotsa, u holda bu oila nuqtaning atroflari sistemasining bazasi deyiladi.
Ma’lumki, nuqtaning barcha ochiq atroflari oilasi shu nuqtaning atroflari sistemasining bazasi bo‘ladi.
1.3.3. Misol. Agar topologik fazoning ixtiyoriy nuqtasining atroflar sistemasi sanoqli bazaga ega bo‘lsa, ya’ni sanoqlidan katta bo‘lmagan atroflar bazasiga ega bo‘lsa, birinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiradi, deb hisoblanadi.
Yuqorida keltirilgan misoldan va ta’rifdan ko‘rinadiki, ixtiyoriy metrik fazo birinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantirar ekan.
1.3.4. Misol. Ixtiyoriy sanoqsiz to‘plamdagi diskret topologiyani olaylik. Haqiqatan ham, ixtiyoriy ni olsak, uning atroflari sistemasining bazasi sifatida biror atrofni olsa bo‘ladi. Demak, ixtiyoriy diskret topologiyali sanoqsiz fazo birinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiradi. Bundan shunday xulosaga kelishimiz mumkinki, har bir diskret va antidiskret fazolar birinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiradi.
1.3.13.Ta’rif. Agar fazoning topologiyasi sanoqli bazaga ega bo‘lsa, u holda u topologik fazoning ikkinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiradi, deyiladi.
Ta’rifdan ko‘rinadiki, fazo ikkinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiradi.