Mundarija Kirish I bob. Topologik fazolarning xossalari

1.3.7.Teorema. fazoning bog‘lamli to‘plamostilari oilasi berilgan bo‘lib, bu oilaning ixtiyoriy ikki elementi o‘zaro ayri bo‘lmasa, u xolda to‘plam fazoda bog‘lamlidir.
Isbot. Buning aksini faraz qilamiz, ya’ni to‘plamlar bo‘sh emas va da yopiq to‘plamlardir.
to‘plamlarning bog‘lamli ekanligidan har bir to‘plam yoki ning qismi bo‘ladi. yoki larning bo‘sh to‘plam emasligidan shunday topiladiki, . va larning yopiq da yopiq ekanligidan, va to‘plamlarning dagi yopig‘i mos ravishda va da yotadi.
Bu quyidagilarga ekvivalentdir:
. Bu yerda va lar va larning dagi yopig‘idir. Shu sababli quyidagi ikki tenglikka ega bo‘lamiz.
Lekin,


Bundan o‘rinlidir. Bu va to‘plamlarning ayri ekanligini bildiradi. Bu ziddiyat teorema o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi.
Bog‘lamli fazolarning maxsus chiziqli bog‘lamli sinfi ham mavjud. Yuqoridagi teorema shu chiziqli bog‘lamli fazolar sinfi shartlarini qanoatlantiradi.
1.3.2.Ta’rif. shartlarni qanoatlantiruvchi uzluksiz akslantirish topologik fazoning va nuqtalarini tutashtiruvchi yo‘l deyiladi.
Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, kesmaning akslantirishdagi obrazi va nuqtalarni tutashtiruvchi bog‘lamli to‘plam ekan.
1.3.3.Ta’rif. Agar topologik fazoning ixtiyoriy ikki nuqtasini yo‘l orqali tutashtirish mumkin bo‘lsa, fazo chiziqli bog‘lamli fazo deyiladi.
Ta’rifdan ma’lum bo‘ladiki, ixtiyoriy chiziqli bog‘lamli fazo bog‘lamlidir.
Topologik fazoda ajrimlilik aksiomalari. ─ fazolar
1.3.4.Ta’rif. Agar topologik fazoning ixtiyoriy ikki turli nuqtasi uchun kamida birining ikkinchisini o‘z ichiga olmaydigan atrofi mavjud bo‘lsa, fazo yoki Kolmogorov fazosi deyiladi.
Agar bu ta’rifda har ikkala ixtiyoriy nuqtalar birorta atrofga ega bo‘lib, biri ikkinchisini o‘zida saqlamasa, ma’lum bo‘ladiki, bunday fazolar sinfi nisbatan tordir.
Bu fazolar sinfi fazo yoki erishilgan, istilo qilingan yoki egallangan fazo deb ataladi. Ta’rifdan ko‘rinadiki, ixtiyoriy fazo da ixtiyoriy bir nuqtali to‘plam yopiq to‘plamdir va buning teskarisi ham o‘rinlidir.
Kolmogorov fazosiga misol sifatida bog‘lamli “qo‘sh nuqtani” keltirish mumkin. Bu fazo erishilgan fazo bo‘la olmaydi. Kolmogorov fazosiga trivial topologiyali ixtiyoriy fazolar ham kiradi.