Mundarija Kirish I bob. Topologik fazolarning xossalari

1.3.1-natija. fazo va , disklar bog‘lamlidir.
1.3.4. Teorema. Uzluksiz akslantirishlarda bog‘lamlilik saqlanadi. Ya’ni, uzluksiz akslantirishda bog‘lamli fazo aksi (obrazi) bog‘lamli bo‘ladi.
Isbot. uzluksiz akslantirish berilgan bo‘lsin. bog‘lamli fazo bo‘lsin. Biz bu yerda akslantirishni syurektiv deb olishimiz mumkin, ya’ni ixtiyoriy nuqta uchun . Agar to‘plam ning ochiq va yopiq to‘plami bo‘lsa, u holda to‘plam ning ochiq va yopiq to‘plami bo‘ladi. Bu holda yoki , qolaversa, yoki bo‘lishi mumkin. Bu fazoning bog‘lamli ekanligini ko‘rsatadi.
1.3.2. Natija. Agar va gomeomorf topologik fazolar bo‘lsa, fazo bog‘lamli bo‘lishi uchun ning bog‘lamli bo‘lishi zarur va yetarlidir.
1.3.5. Teorema. Agar topologik fazo ixtiyoriy ikki nuqtasini tutashtiruvchi nuqtalarni o‘zida saqlagan bog‘lamli to‘plamostiga ega bo‘lsa, bog‘lamli bo‘ladi.
Isbot. Buning teskarisini olaylik, ya’ni topologik fazo bog‘lamli bo‘lmasin. U holda fazoni o‘zaro umumiy nuqtaga ega bo‘lmagan ikki bo‘linmas ochiq to‘plamlar birlashmasi ko‘rinishida yozishimiz mumkin.
Demak, , – ochiq to‘plamlar. Aytaylik, va bo‘lsin. to‘plam va nuqtalarni o‘zida saqlovchi bog‘lamli to‘plam bo‘lsin. Quyidagi to‘plamlarni olaylik: va . Bu to‘plamlar bo‘sh emas va da ochik to‘plamlardir. Ularning birlashmasi dan iboratdir. Lekin o‘rinli. Bu ning bog‘lamli ekanligiga ziddir.
Bog‘lamli to‘plamlar uchun quyidagilarni isbotlash qiyin emas.
1.3.6. Teorema. 1) agar va to‘plamlar ning bog‘lamli to‘plamlari bo‘lib, o‘rinli bo‘lsa, birlashma bog‘lamli bo‘ladi;
2) agar to‘plamlar ning bog‘lamli to‘plamostilari bo‘lib, va o‘rinli bo‘lsa, birlashma bog‘lamli bo‘ladi. Fazoning bog‘lamli bo‘lishining umumiyroq kriteriysini keltiramiz.