Mundarija Kirish I bob. Topologik fazolarning xossalari

1.3.12.Teorema. Metrik fazolarda tenglik o‘rinlidir. Xususiy holda separabel metrik fazo uchun o‘rinlidir.
Kompakt fazolar
1.3.16.Ta’rif. Bizga topologik fazo, qism to’plam va birorta ochiq to’plamlar oilasi berilgan bo’lsin. Berilgan oila uchun munosabat o’rinli bo’lsa, u holda oila to’plamning ochiq qobig’i deyiladi.
1.3.17.Ta’rif. Ochiq qobiq chekli (sanoqli) sondagi to’plamlardan iborat bo’lsa, u chekli (sanoqli) ochiq qobiq deb ataladi. Agar qobiqning har bir elementi oilaga tegishli bo’lsa, oila qobiqning qism qobig’i deyiladi.
1.3.18.Ta’rif. Berilgan to’plamning ixtiyoriy ochiq qobig’idan chekli qobiq ajratish mumkin bo’lsa, kompakt to’plam deyiladi.
1.3.19.Ta’rif. Bizga topologik fazo va ochiq to’plamlar oilasi berilgan bo’lib, munosabat bajarilsa, oila topologik fazoning ochiq qobig’i deyiladi.
1.3.20.Ta’rif. Topologik fazoning ochiq qobiqlari , oilalar berilgan bo’lsin. Agar har bir uchun mavjud bo’lib, munosabat bajarilsa, qobiq qobiqning ichiga joylashtirilgan deyiladi.
Tabiiyki, 1.3.18.Ta’rif da agar munosabat o’rinli bo’lsa, u holda kompakt fazo ta’rifini hosil qilamiz:
1.3.21.Ta’rif. Berilgan topologik fazoning ixtiyoriy ochiq qobig’idan chekli qobiq ajratish mumkin bo’lsa, u kompakt fazo deyiladi.
1.3.22.Ta’rif. Berilgan topologik fazoning ixtiyoriy sanoqli ochiq qobig’idan chekli qobiq ajratish mumkin bo’lsa, berilgan topologik fazoda sanoqli kompaktlilik xossasi o’rinli deyiladi.
1.3.23.Ta’rif. Berilgan topologik fazoning ixtiyoriy nuqtasi yopig’i kompakt to’plam bo’lgan atrofga ega bo’lsa, bu topologik fazo lokal kompakt fazo deyiladi.
1.3.24.Teorema. topologik fazo kampakt bo’lishi uchun undagi yopiq
to’plamlardan iborat har qanday markazlashgan sistemaning kesishmasi bo’sh
bo’lmasligi zarur va yetarlidir.